Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8353] mines PC 2015 Un QCM comporte 20 questions. Pour chacune des questions, il y a \(k\) réponses possibles. On obtient un point par bonne réponse. On répond au hasard, on note \(X\) le nombre de points obtenus. On nous rend le QCM dans lequel on peut modifier les réponses fausses ; on obtient un demi-point pour chaque nouvelle réponse juste obtenue (réponse au hasard parmi les \((k-1)\) restantes). Soit \(Y\) le nombre de points obtenus la deuxième fois.

1. Déterminer la loi de \(X\).

2. Déterminer l’espérance de \(Y\). Déterminer \(k\) pour que \(\mathbf{E}(Y)=5\).

[oraux/ex8489] mines MP 2016 Soient \(p\), \(q\) deux réels, \(X\), \(Y\) deu variables aléatoires entières et \({}\geqslant 0\) telles que : \[\forall(m,n)\in\mathbf{N}^2,\qquad\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{n+m}.\]

1. 1. À quelles conditions sur le couple \((p,q)\) la relation précédente définit-elle bien la loi conjointe de \((X,Y)\) ?

   2. Déterminer alors les lois marginales de \(X\) et de \(Y\), l’espérance de \(X+Y\).

   3. Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_X(k)=\mathbf{P}(X\leqslant k)\).

2. On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).

   1. Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_Z(k)=\mathbf{P}(Z\leqslant k)\). En déduire la loi de \(Z\) ainsi que son espérance.

   2. Déterminer l’espérance de \(|X-Y|\).

[planches/ex3306] polytechnique MP 2018 Sur un même espace probabilisé, on considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), dont \(X\) à valeurs dans \(\mathbf{R}\) et d’espérance finie, et \(Y\) à valeurs dans un ensemble \(A\).

1. Montrer qu’il existe une fonction \(h:A\rightarrow\mathbf{R}\) telle que, pour toute fonction bornée \(g:A\rightarrow Y\), on ait \(\mathbf{E}(Xg(Y))=\mathbf{E}(h(Y)g(Y))\). Montrer l’unicité d’une telle fonction sous réserve que \(\mathbf{P}(Y=y)>0\) pour tout \(y\in A\). On fait cette hypothèse dans la suite de l’énoncé.

2. Montrer que, pour tout \(y\in A\), le réel \(h(y)\) est l’espérance de la variable aléatoire \(X\) pour la loi de probabilité conditionnelle \(\mathbf{P}(Y=y)\).

3. On se donne ici deux variables aléatoires indépendantes \(X_1\) et \(X_2\) suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\). On se donne \(f:\mathbf{N}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(X=f(X_1)\) soit d’espérance finie. On pose \(Y=X_1+X_2\). Expliciter dans ce cas la variable aléatoire \(h(X)\) où \(h\) est précisée dans la première question.

[oraux/ex8315] polytechnique MP 2015 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé et à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On suppose \(Y\) d’espérance finie.

1. Montrer qu’il existe une fonction \(g:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(g(X)\) soit d’espérance finie et, pour toute fonction \(f:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) bornée, on ait \(\mathbf{E}(Yf(X))=\mathbf{E}(g(X)f(X))\).

2. Montrer que \(g\) est unique à un ensemble de probabilité nulle (pour la loi de \(X\)) près.

[planches/ex1599] ens PSI 2017 Un questionnaire comporte 20 questions. Pour chaque question, \(k\) réponses sont possibles dont une seule est bonne. Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Un candidat répond au hasard à toutes les questions.

1. Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points obtenus par le candidat à ce questionnaire. Déterminer la loi de \(X\).

2. À chaque question, si le candidat s’est trompé, il a droit à une seconde chance et peut choisir une autre réponse parmi celles qui restent. Il gagne alors \(1/2\) point en cas de bonne réponse. Soit \(Y\) le nombre de \(1/2\) points obtenus, déterminer la loi de \(Y\).

3. Déterminer \(k\) pour que le candidat obtienne en moyenne une note de 5 sur 20.

[planches/ex7292] centrale PC 2021 On dispose d’une pièce donnant Pile avec la probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir Pile. Si Pile apparait pour la première fois au \(N\)-ième lancer, on effectue une série de \(N\) lancers avec cette même pièce et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de cette deuxième série de lancers.

1. Déterminer la loi de \(N\).

2. Déterminer la loi du couple \((N,X)\).

3. Déterminer la loi de \(X\) et son espérance.

[planches/ex4848] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs réelles. On dit que \(X\) est symétrique si \(X\) et \(-X\) ont même loi.

1. Soient \(Y\) et \(Y'\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi ne prenant qu’un nombre fini de valeurs. Montrer que \(Y-Y'\) est symétrique.

   Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs réelles ne prenant qu’un nombre fini de valeurs.

2. Montrer que \(F_X:t\longmapsto\mathbf{E}(e^{itX})\) définit une fonction sur \(\mathbf{R}\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(F_X\) pour que \(X\) soit symétrique.

3. On suppose \(X\) symétrique. Soit \(\varepsilon\) une variable indépendante de \(X\) telle que : \[\mathbf{P}(\varepsilon=1)=\mathbf{P}(\varepsilon=-1)=1/2.\] Montrer que \(\varepsilon X\) et \(X\) ont même loi.

[oraux/ex8325] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(\Omega\) un univers fini muni d’une probabilité \(\mathbf{P}\). Si \(X\) est une variable aléatoire réelle, on dit que \(X\) est symétrique si \(X\) et \(-X\) suivent la même loi.

1. Soient \(Y\) et \(Y'\) deux variables indépendantes suivant la même loi. Montrer que \(Y-Y'\) est symétrique.

2. Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On pose \(f_X:t\mapsto\mathbf{E}(e^{itX})\). Montrer que \(f_X\) détermine entièrement la loi de \(X\). Si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), donner une condition nécessaire et suffisante sur \(f_X\) pour que \(X\) soit symétrique.

[planches/ex2161] mines MP 2017 Soient \(p\in[0,1]\) et \(q=1-p\). On définit \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires à valeurs entières telles que, pour tout \((m,n)\in\mathbf{N}^2\), on ait \(\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{m+n}\).

1. Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\). Calculer \(\mathbf{E}(X+Y)\).

2. Calculer \(\mathbf{P}(X\leqslant k)\) pour \(k\in\mathbf{N}\).

   On note \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).

3. Trouver la loi de \(Z\) et calculer son espérance.

4. Calculer \(\mathbf{E}(|X-Y|)\).

5. Déterminer la loi de \(T\).

6. Déterminer la loi de \((X,Z)\) et retrouver la loi de \(Z\).

7. Déterminer \(\mathbf{P}(X+Y=m)\) pour \(m\in\mathbf{N}\).

[oraux/ex6359] escp courts 2016 On utilise une pièce de monnaie qui donne pile avec la probabilité \(p \in\left]0,1\right[\).

On commence par lancer la pièce jusqu’à obtenir une première fois Pile et on note \(N\) le nombre de lancers nécessaires. Si le premier Pile a été obtenu au \(n\)-ième lancer, on lance ensuite cette même pièce \(n^2\) fois et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de ces \(n^2\) lancers.

1. Quelle est la loi suivie par \(N\) ? Donner l’espérance et la variance de \(N\).

2. Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant l’événement \((N=n)\).

3. En déduire l’existence et la valeur de l’espérance de \(X\).