Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2689] ensea MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \([[0,n]]\) telles que, pour tout \(k\in[[0,n]]\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(\{Y=k\}\) est la loi uniforme sur \([[0,k]]\). Déterminer la loi de \((X,Y)\) puis la loi de \(X\), en fonction de celle de \(Y\). Calculer l’espérance de \(X\) en fonction de celle de \(Y\).

[probas/ex0007] On jette une pièce de monnaie jusqu’à ce qu’on obtienne pile pour la deuxième fois. On suppose qu’à chaque lancer de la pièce, la probabilité d’obtenir pile est \(p\), \(p\in\left]0,1\right[\).

On note \(X\) le nombre de faces obtenues avant d’obtenir pile pour la deuxième fois.

Si \(X=n\), on place \(n+1\) boules numérotées de 0 à \(n\) dans une urne et on tire au hasard l’une de ces boules. On note alors \(Y\) le numéro de la boule tirée.

1. Quelle est la loi de \(X\) ? \(X\) admet-elle une espérance ? Si oui la calculer.

2. \(Y\) admet-elle une espérance ? La calculer.

[oraux/ex8523] mines PC 2016 Soient \(X_n\) et \(Y_n\) deux variables aléatoires suivant des lois uniformes sur \([[1,n]]\) et indépendantes. On pose \(Z_n=|X_n-Y_n|\) et \(T_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X_n,Y_n)\). Calculer \(\mathbf{E}(Z_n)\) et \(\mathbf{E}(T_n)\). Déterminer des équivalents de \(\mathbf{E}(Z_n)\) et \(\mathbf{E}(T_n)\) lorsque \(n\rightarrow+\infty\).

[oraux/ex8547] centrale PSI 2016 (avec Python)

Deux amis se sont donné rendz-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires suivant la loi uniforme sur \([[0,59]]\).

1. À quoi correspond la variable \(T=|X-Y|\) ?

2. Donner la loi de \(T\).

3. Écrire une fonction rdv(n) qui renvoie les résultats de \(n\) simulations de \(T\).

4. 1. Calculer l’espérance exacte de \(T\).

   2. Donner une approximation de l’espérance avec Python. Commenter l’écart.

5. On pose \(n=10^5\). Écrire un programme qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide du programme rdv(n). Commenter les écarts.

[planches/ex3594] mines MP 2018

1. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre \(p\in\left]0,1\right[\). Calculer \(\mathbf{E}(1/X)\).

2. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\). Calculer \(\displaystyle\mathbf{E}\left({1\over1+X}\right)\).

3. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois géométriques de paramètres \(p\) et \(q\). Déterminer \(\mathbf{E}(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\})\).

[planches/ex2585] centrale PSI 2017 Soit \(p\in\left]0,1\right[\). On se donne une pièce qui tombe sur pile avec la probabilité \(p\). On la lance jusqu’à obtenir deux fois pile et on note \(X\) le nombre de faces obtenues.

1. Donner la loi de \(X\).

2. Montrer l’existence et donner la valeur de l’espérance de \(X\).

3. Si \(X=n\), on place \(n+1\) boules numérotées de 0 à \(n\) dans une urne. On pioche une boule au hasard et \(Y\) désigne le numéro de la boule piochée. Donner la loi de \(Y\) et son espérance.

[planches/ex8261] mines PSI 2022 Soient \(X\), \(Y\) des variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). On pose \(M=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).

1. Justifier que \(M\) est une variable aléatoire.

2. Déterminer la loi de \(M\).

3. Déterminer l’espérance et la variance de \(M\) en utilisant \(m=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).

[planches/ex7834] polytechnique PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(U=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) et \(V=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).

1. Trouver les lois de \(U\) et \(V\).

2. Trouver la loi de \((U,V)\).

3. Trouver la loi de \(U+V\) et son espérance.

[planches/ex6847] mines MP 2021 Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). Calculer les espérances de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X_1,X_2)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X_1,X_2)\).

[planches/ex7417] ccinp PC 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de lois géométriques de paramètres respectifs \(p_1\in\left]0,1\right[\) et \(p_2\in\left]0,1\right[\).

1. Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).

2. Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).