Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0030] mines MP 2023 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de même loi et d’espérance finie. Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\).

Indication : Commencer par le cas où \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.

[concours/ex4627] escp S 2004 Soient \(N\) et \(X\) deux variables aléatoires discrètes définies sur le même univers \(\Omega\), telles que \(N(\Omega) \subset \mathbf{N}\), et que pour \(k \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((N=k)\) est la loi uniforme sur \(\{0,1,\ldots,k \}\).

On note, pour \(k \in \mathbf{N}\) , \(p_k = P(N=k)\).

1. 1. Déterminer la loi du couple \((X,N)\) en fonction de la loi de \(N\).

   2. Donner, sous la forme d’une somme faisant intervenir les \(p_k\), la probabilité \(P(X=i)\), pour \(i \in \mathbf{N}\).

   3. Montrer que \((N-X)(\Omega) \subset \mathbf{N}\) et que \(N-X\) suit la même loi que \(X\).

2. On suppose dans cette question qu’il existe \(n \geqslant 2\) vérifiant \(\forall k \geqslant n+1\), \(p_k = 0\) et \(\forall k \leqslant n\), \(p_k >0\).

   1. Justifier l’existence des espérances et variances de \(N\) et de \(X\) et de la covariance de \(N\) et \(X\).

   2. Trouver une relation entre \(E(N)\) et \(E(X)\), puis entre \(V(N)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(N,X)\).

   3. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(N,N-2X)\). Les variables \(N\) et \(N-2X\) sont-elles indépendantes ?

3. On suppose dans cette question que \(p_0 = p_1 = 0\) et \(\forall k \geqslant 2\), \(p_k = {1\over k(k-1)}\).

   1. Déterminer explicitement la loi du couple \((X,N)\) et la loi de \(X\).

   2. Les variables \(X\) et \(N\) admettent-elles une espérance ?

   3. Montrer que les espérances \(E\left(\displaystyle{1\over X+1}\right)\) et \(E\left(\displaystyle{1\over N+1} \right)\) existent et les calculer.

[planches/ex2163] mines MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbf{N}^*\) telles que \(X\leqslant Y\), pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on ait \(\mathbf{P}(Y=n)>0\) et que \(X\) suive la loi uniforme pour la probabilité conditionnelle à \(\{Y=n\}\).

1. Que peut-on dire des lois de \(X\) et \(Y-X+1\) ?

2. Montrer que si \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\), alors \(X\) et \(Y-X+1\) sont indépendantes.

3. Montrer que si \(X\) et \(Y-X+1\) sont indépendantes, alors \(X\) suit une loi géométrique.

4. On suppose \(Y\) d’espérance finie. Montrer que \(X\) est d’espérance finie et exprimer \(\mathbf{E}(X)\) en fonction de \(\mathbf{E}(Y)\).

[oraux/ex4644] escp courts 2011 Soit \(N\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) ; pour tout \(n \in \mathbf{N}\), on note \(p_n = P(N=n)\).

Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur le même univers \(\Omega\) et telle que, pour tout \(n \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \([N=n]\) est la loi uniforme sur \(\{ 0,1, \ldots, n \}\).

1. Comparer la loi de \(X\) et celle de \(N-X\).

2. Si \(N\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\), calculer \(E(X)\).

[probas/ex1040] Soient \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires indépendantes, ayant autant de chances l’une et l’autre de prendre n’importe quelle valeur parmi 1, 2, … , \(m\). Montrer que : \[E(|X-Y|)={(m-1)(m+1)\over3m}.\]

[planches/ex8487] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On se donne deux variables aléatoires indépendantes \(X_n\), \(Y_n\) suivant la loi uniforme sur \(\mathbf{U}_n\).

1. Calculer l’espérance \(E_n\) et la variance \(V_n\) de \(Z_n=|X_n-Y_n|\).

2. Déterminer la limite de chaque suite \((E_n)\) et \((V_n)\).

[oraux/ex6106] escp B/L 2014

1. Soit \(N\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\), à valeurs dans \(\mathbf{N}\) ; pour tout \(n \in \mathbf{N}\), on note \(p_n = P(N=n)\).

   Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur le même espace et telle que, pour tout \(n \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((N=n)\) est la loi uniforme sur \([[0,n]]\).

   1. Déterminer la loi de \(X\).

   2. Déterminer la loi de \(N-X\).

2. Dans cette question, on suppose que pour tout \(n\in \mathbf{N}\), on a \(p_n=\displaystyle {2\over(n+2)\,(n+3)}\).

   1. Déterminer trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \[\forall n \in \mathbf{N},\ {2\over(n+1)\,(n+2)\,(n+3)} ={a\over n+1} +{b\over n+2} + {c\over n+3}\]

   2. Déterminer la loi de \(X\).

   3. Les variables \(X\) et \(Y = 1/(X+3)\) admettent-elles une espérance ? La calculer le cas échéant.

3. Dans un casino, une machine propose le jeu suivant : dans un premier temps, la machine tire au hasard, avec remise, une carte dans un jeu comportant une proportion \(1-q=p \in \left] 0,1\right[\) d’As. On suppose les tirages indépendants. La machine (qui mémorise les cartes tirées) s’arrête à la première apparition d’un As.

   Ensuite, la machine ajoute aux cartes déjà tirées un joker, puis choisit au hasard une carte parmi celles-ci. Si elle tire le joker, on ne gagne rien. Sinon, on gagne une somme \(S\) égale au rang de sortie de la carte tirée (par exemple, si les tirages ont été successivement \(3\) \(\heartsuit\), \(9\) \(\spadesuit\,\), R \(\clubsuit\,\), A \(\heartsuit\) et que le résultat du jeu est R \(\clubsuit\) (3-ième carte tirée), on gagne \(3\) Euros.)

   Quel est le prix minimum de la partie pour que le casino espère gagner de l’argent ? Que vaut ce prix pour un jeu classique de 52 cartes comportant quatre As ?

[probas/ex0334] On dispose de 5 urnes numérotées de 1 à 5.

L’urne numéro \(k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit une urne au hasard et on tire une boule de cette urne. On définit les deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) par : \(X\) est le numéro de l’urne choisie, \(Y\) est le numéro de la boule tirée.

1. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\) ; en déduire les lois de probabilité de \(X\) et de \(Y\).

2. Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).

[oraux/ex8482] mines MP 2016 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On considère \(n\) urnes \(U_1\), … , \(U_n\). Pour \(k=1\), … , \(n\), l’urne \(U_k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit en toute indépendance et uniformité, une urne, puis une boule dans cette urne. La variable aléatoire \(X\) indique le numéro de l’urne choisie, la variable aléatoire \(Y\) le numéro de la boule.

1. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).

2. Calculer l’espérance de \(Y\).

[planches/ex2689] ensea MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \([[0,n]]\) telles que, pour tout \(k\in[[0,n]]\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(\{Y=k\}\) est la loi uniforme sur \([[0,k]]\). Déterminer la loi de \((X,Y)\) puis la loi de \(X\), en fonction de celle de \(Y\). Calculer l’espérance de \(X\) en fonction de celle de \(Y\).