Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4916] escp S 2001 Soit \(n\) un entier naturel non nul. Une boîte contient \((2n+1)\) jetons bicolores (une face est blanche, l’autre est noire). Les jetons sont numérotés de \(1\) à \(2n+1\) sur leur face blanche, les faces noires ne portant pas de numéro.

On lance simultanément tous les jetons et on observe leurs faces supérieures.

1. Une et une seulement des deux couleurs apparaît un nombre impair de fois. Soit \(X\) la variable aléatoire associée à ce nombre.

   1. Déterminer la loi de \(X\).

   2. Calculer son espérance et sa variance.

2. Suite au lancer, on ramasse les jetons de la couleur apparaissant un nombre impair de fois et on note les numéros de leur face blanche. Soit \(Y\) la variable aléatoire représentant le plus petit de ces nombres.

   1. Soit \(k\in[[0,n]]\), déterminer la loi conditionnelle de \(Y\), conditionnée par l’événement \((X=2k+1)\).

   2. En déduire la loi de \(Y\). Calculer son espérance.