Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4955] escp B/L 2001 On considère une entreprise de \(400\) salariés. La moyenne et l’écart-type du salaire mensuel de tout le personnel sont respectivement \(\overline{x} = 10000\) F et \(\sigma (x) = 2000\) F. Le salaire le plus bas est \(6000\) F et le salaire le plus élevé est \(30000\) F.

À la suite d’une grève, des négociations salariales s’ouvrent. à l’issue de celles-ci, le salaire de chaque salarié sera majoré en appliquant la formule générale suivante : \(y_i = a x_i + b\), où :

• le nombre \(x_i\) représente le salaire du salarié \(i\) avant l’augmentation,

• le nombre \(y_i\) représente le salaire du salarié \(i\) après l’augmentation,

• les coefficients \(a\) et \(b\) sont à déterminer.

Trois propositions sont sur la table des négociations :

1. augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type.

2. augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion relative des salaires mesurée par le coefficient de variation \(C V =\displaystyle{\hbox{écart-type} \over {\rm moyenne}}\).

3. réduire de \(2 \%\) la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type tout en augmentant la masse salariale d’un montant tel qu’aucun salaire ne diminue.

1. Calculer la masse salariale et le coefficient de variation des salaires avant l’augmentation.

2. Pour chacune des trois propositions en présence :

   1. Calculer les paramètres \(a\) et \(b\) à utiliser. (Pour \({\rm P}_3\) on prendra la plus petite valeur de \(b\) vérifiant toutes les conditions).

   2. Calculer la moyenne du nouveau salaire mensuel.

3. Autour de la table de négociations, on trouve trois groupes : des représentants de la direction, des représentants des cadres et des représentants des salariés non cadres, chaque groupe ayant formulé une des trois propositions.

   1. Calculer, en pourcentage, l’augmentation de la masse salariale correspondant à la proposition \({\rm P}_3\).

   2. Donner l’allure de la représentation graphique, dans un même repère, du nouveau salaire \(y\) en fonction de l’ancien \(x\) pour chacune des propositions. On s’intéressera uniquement à la position relative de ces droites.

   3. Identifier, en utilisant les résultats précédents, de quel groupe émane chacune des propositions.

[planches/ex4748] polytechnique MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(H\) et \(K\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(R\) dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) de trace 1. Pour \((s,t)\in\mathbf{R}^2\), soit \(f(s,t)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(Re^{i(tH+sK)}\right)\).

1. On suppose que \(KH=HK\). Montrer qu’il existe deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(Y\) telles que \(\forall(s,t)\in\mathbf{R}^2\), \(f(s,t)=\mathbf{E}\left(e^{i(tX+sY)}\right)\).

2. En considérant \(R=\pmatrix{1&0\cr0&0}\), \(H=\pmatrix{0&1\cr1&0}\), \(K=\pmatrix{1&0\cr0&-1}\), montrer que le résultat précédent ne subsiste pas si l’on omet l’hypothèse \(HK=KH\).

3. On revient à la situation de la première question. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(\ell_1\), … , \(\ell_n\) dans \(\mathbf{R}\), \(s_1\), … , \(s_n\), \(t_1\), … , \(t_n\) dans \(\mathbf{C}\), montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}\ell_i\overline\ell_j f(s_i-s_j,t_i-t_j)\geqslant 0\).

[planches/ex6846] mines MP 2021 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \((\Omega,\mathscr{T},\mathbf{P})\) un espace probabilité, \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes définies sur \((\Omega,\mathscr{T},\mathbf{P})\) suivant la loi uniforme sur \(\{1,2,\ldots,n\}\), \(m\in\{1,\ldots,n\}\). Soit \(Z\) la variable aléatoire telle que \(Z(\omega)=X(\omega)\) si \(Y(\omega)\leqslant m\) et \(Z(\omega)=Y(\omega)\) sinon.

1. Déterminer la loi de \(Z\). Calculer \(\mathbf{E}(Z)\).

2. Déterminer les entiers \(m\) qui maximisent l’espérance de \(Z\).

[concours/ex5134] escp B/L 1999 Une urne contient trois jetons numérotés 1, 2, 3 indiscernables au toucher. On effectue une suite de tirages d’un jeton de cette urne, en replaçant à chaque fois le jeton obtenu, avant le tirage suivant.

1. On note \(Y\) le nombre aléatoire de tirages juste nécessaire pour obtenir, pour la première fois, deux numéros différents. Déterminer la loi de \(Y\) et son espérance.

2. On note \(Z\) le nombre aléatoire de tirages juste nécessaire pour obtenir, pour la première fois, les trois numéros.

   1. Déterminer la loi du couple \((Z,Y)\).

   2. Déterminer la loi de \(Z\) et calculer son espérance.

[probas/ex1081] Un prisonnier est enfermé dans une cellule contenant 3 portes. La première ouvre un tunnel qui revient dans la cellule après une marche de 2 jours. La seconde porte donne sur un tunnel qui revient aussi à la cellule au bout d’un voyage de 4 jours. La troisième porte conduit à la liberté au bout d’un jour de marche. On suppose que le prisonnier choisit à chaque tentative les portes 1, 2, et 3 avec des probabilités \(0.5\), \(0.3\) et \(0.2\). Quelle est l’espérance du nombre de jours qu’il faudra au prisonnier pour retrouver sa liberté ?

[oraux/ex8696] ensam PSI 2016 Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(q=1-p\) et \(Y=|X_1-X_2|\).

1. Calculer \(\mathbf{P}(Y=0)\). Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer que \(\mathbf{P}(X_1-X_2=n)=\displaystyle{pq^n\over1+q}\). En déduire la loi de \(Y\).

2. Montrer que \(Y\) admet une espérance et la calculer.

3. Montrer que \(\mathbf{E}((X_1-X_2)^2)=2\mathbf{V}(X_1)\). En déduire que \(Y\) admet une variance et la calculer.

[planches/ex6357] hec E 2021 Le jeu de mémory est composé de \(n\) (\(n\) étant un entier naturel non nul) paires d’images deux à deux distinctes, sur une seule des \(n\) paires sont représentés des chatons. Ces images sont réparties en deux tas : chaque paire aura une de ses images dans chaque tas. Les images sont posées face cachée. À chaque étape, une carte de chaque tas est retournée. Si les deux cartes retournées forment la paire de chatons, alors le jeu s’arrête, sinon les cartes sont retournées et les tas à nouveau mélangés.

Deux joueurs \(A\) et \(B\) jouent en parallèle. Ils possèdent chacun leur propre jeu de mémory et jouent indépendamment, mais réalisent leurs étapes en même temps. On note \(X\) (respectivement \(Y\)) le nombre d’étapes de jeu effectuées par le joueur \(A\) (respectivement \(B\)) lorsqu’il trouve la paire de chatons. On note de plus : \(M = \mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\). On admet que \(M\) est une variable aléatoire.

1. Question de cours : Énoncer la définition de l’espérance d’une variable aléatoire discrète.

2. Donner la loi de \(X\), son espérance et sa variance.

3. Pour tout entier naturel \(k\), déterminer \(\mathbf{P}\big( {M \leqslant k} \big)\).

4. Montrer que la série \(\displaystyle\sum\limits_{k \geqslant 0} \mathbf{P}\big( {M > k} \big)\) converge.

5. Montrer que pour tout entier naturel \(K\) non nul : \[\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{K} k \, \mathbf{P}\big( {M = k} \big) \ = \ -K \, \mathbf{P}\big( {M > K} \big) + \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{K-1} \mathbf{P}\big( {M > K} \big)\]

6. En déduire que \(M\) admet une espérance.

7. Montrer que la suite \(\Big(K \, \mathbf{P}\big( {M>K} \big) \Big)_{K \geqslant 0}\) converge vers \(0\).

8. Déterminer \(\mathbf{E}(M)\).

[oraux/ex8323] polytechnique, espci PC 2015

1. Soient \((x,y)\in(\mathbf{R}_+)^2\) et \((p,q)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que \(1/p+1/q=1\). Montrer : \[x^{1/p}y^{1/q}\leqslant{x\over p}+{y\over q}.\]

2. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires positives. Montrer : \[\mathbf{E}(XY)\leqslant\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\mathbf{E}(Y^q)^{1/q}.\]

[probas/ex1078] Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On en tire successivement deux échantillons aléatoires de taille 3 et 5 respectivement, ceci sans remise. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de boules blanches dans chacun de ces échantillons ; calculer \(E(X/Y=i)\) pour \(i=1\), 2, 3, 4.

[oraux/ex6074] escp S 2014 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) admettant un moment d’ordre \(2\).

Déterminer la valeur qui minimise l’application définie sur \(\mathbf{R}\) par \(x\mapsto E((X-x)^2)\), où \(E\) désigne l’opérateur espérance.

Dans la suite de l’exercice, on considère un ensemble fini \(\Omega=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) et \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P)\) un espace probabilisé de support \(\Omega\).

Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur cet espace. Pour tout réel \(t\), on définit l’application \(P_t~: \Omega \rightarrow \mathbf{R}\) par : \[\hbox{pour tout }A\in\mathscr{P}(\Omega),\ P_t(A)={E({\bf 1}_A\, e^{tX})\over E(e^{tX})}\] où \({\bf 1}_A\) est la fonction indicatrice de l’ensemble \(A\).

1. Montrer que l’on définit ainsi une probabilité sur \(\Omega\) et que pour tout \(\omega\in \Omega\) : \[P_t(\omega)={P(\omega)e^{tX(\omega)}\over E(e^{tX})}\]

2. 1. Soit \(Y\) une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathscr{P}(\Omega),P_t)\). Calculer \(E_t(Y)\).

   2. Que peut-on dire de \(E_t(Y)\) si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ?

   3. Dans cette question \(\Omega=\{0, 1, \ldots, n\}\) et \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). On pose \(Y=2^X\). Calculer \(E_t(Y)\).

3. On revient au cas général. À l’aide de la question préliminaire, montrer que : \[E_t((X-E_t(X))^2) \leqslant{1\over4}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{\omega\in\Omega}X(\omega)- \mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)\right)^2\]