[examen/ex0901] escp courts S 2021 Soit \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur \([[1,n]]\), soit \(g\) une bijection de \([[1,n]]\) sur lui-même.
[examen/ex0901]
On pose \(T=g(X)\) et \(Z=\mathbf1_{[Y\leqslant g(X)]}\).
Quelle est la loi de \(T\) ? Montrer que \(n\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(T)\).
Que dire de leurs variances ?
[probas/ex1090] Des ampoules de type \(i\) fonctionnent pendant une durée aléatoire de moyenne \(\mu_i\) et d’écart-type \(\sigma_i\), \(i=1\), 2. Une ampoule choisie au hasard dans une boîte d’ampoules est de type 1 avec une probabilité \(p\) et de type 2 avec une probabilité \(1-p\). Soit \(X\) la durée de vie de cette ampoule. Trouver \(E(X)\) et \(V(X)\).
[probas/ex1090]
[probas/ex2320] Vrai ou faux ?
[probas/ex2320]
Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires admettant une variance.
Alors \(\mathbf{V}(X-Y)=\mathbf{V}(X)-\mathbf{V}(Y)-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(X,Y)\).
[probas/ex2054] On effectue un tirage avec remise de deux nombres entre 1 et 5. Soit \(X=0\) si le premier nombre tiré est pair et \(X=1\) sinon ; et \(Y=1\) si le deuxième nombre est impair et \(Y=0\) sinon. On pose \(Z=X+Y\).
[probas/ex2054]
Donner la loi de \(Z\).
Calculer \(\mathbf{E}(Z)\), et vérifier que \(\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(X)+\mathbf{E}(Y)\).
Calculer \(\mathbf{V}(X)\), \(\mathbf{V}(Y)\) et \(\mathbf{V}(Z)\), et comparer \(\mathbf{V}(Z)\) à \(\mathbf{V}(X)+\mathbf{V}(Y)\).
[examen/ex0894] escp courts S 2021 Dans une urne contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\), on pioche une boule ; si elle porte le numéro \(k\), on remet alors \(k\) boules de numéro \(k\) dans l’urne. On note \(X\), le numéro de la première boule, \(Y\) celui de la deuxième.
[examen/ex0894]
Donner la loi de \(X\), puis la loi de \(Y\), en fonction de \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{m=n+1}^{2n}{1\over m}\).
Calculer l’espérance de \(Y\).
[oraux/ex6074] escp S 2014 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) admettant un moment d’ordre \(2\).
[oraux/ex6074]
Déterminer la valeur qui minimise l’application définie sur \(\mathbf{R}\) par \(x\mapsto E((X-x)^2)\), où \(E\) désigne l’opérateur espérance.
Dans la suite de l’exercice, on considère un ensemble fini \(\Omega=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) et \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P)\) un espace probabilisé de support \(\Omega\).
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur cet espace. Pour tout réel \(t\), on définit l’application \(P_t~: \Omega \rightarrow \mathbf{R}\) par : \[\hbox{pour tout }A\in\mathscr{P}(\Omega),\ P_t(A)={E({\bf 1}_A\, e^{tX})\over E(e^{tX})}\] où \({\bf 1}_A\) est la fonction indicatrice de l’ensemble \(A\).
Montrer que l’on définit ainsi une probabilité sur \(\Omega\) et que pour tout \(\omega\in \Omega\) : \[P_t(\omega)={P(\omega)e^{tX(\omega)}\over E(e^{tX})}\]
Soit \(Y\) une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathscr{P}(\Omega),P_t)\). Calculer \(E_t(Y)\).
Que peut-on dire de \(E_t(Y)\) si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ?
Dans cette question \(\Omega=\{0, 1, \ldots, n\}\) et \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). On pose \(Y=2^X\). Calculer \(E_t(Y)\).
On revient au cas général. À l’aide de la question préliminaire, montrer que : \[E_t((X-E_t(X))^2) \leqslant{1\over4}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{\omega\in\Omega}X(\omega)- \mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)\right)^2\]
[probas/ex2091] Deux cartes sont tirées au hasard d’un jeu en contenant 5, numérotées 1, 1, 2, 2 et 3. Soit \(X\) la somme et \(Y\) le maximum des deux nombres obtenus. Calculer la loi, l’espérance, la variance et l’écart-type de \(X\), \(Y\), \(Z=X+Y\), \(W=XY\).
[probas/ex2091]
[planches/ex7419] ccinp PC 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. On suppose que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) avec \(p\in\left]0,1\right[\) et que \(Y\) suit la loi uniforme sur \(\{0,1,\ldots,n\}\).
[planches/ex7419]
On définit la variable aléatoire \(Z\) par \(\forall\omega\in\Omega\), \(Z(\omega)=\cases{X(\omega)&si $X(\omega)\neq0$\cr Y(\omega)&si $X(\omega)=0$.}\)
Déterminer la loi de \(Z\) et son espérance.
[probas/ex1077] On lance plusieurs fois un dé équilibré. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de jets nécessaires pour obtenir un 6 et un 5, respectivement. Trouver :
[probas/ex1077]
\(E(X)\) ;
\(E(X/Y=1)\) ;
\(E(X/Y=5)\).
[probas/ex0008] Dans un casino, un croupier mélange trois cartes : As de cœur, Roi de cœur, Valet de pique et les présente face cachée sur une table. Un joueur choisit l’une de ces trois cartes au hasard. Si c’est un cœur, il gagne 1€ si c’est l’As, 2€ si c’est le Roi et le jeu recommence. Si c’est le Valet de pique, le jeu s’arrête.
[probas/ex0008]
On note \(N\) le nombre de cartes tirées avant l’apparition du Valet de pique et \(S\) la somme gagnée (en €).
Déterminer la loi de \(N\). Quelle est la probabilité que le Valet de pique ne soit jamais tiré ?
Déterminer la loi de \(S\) sachant \([N=n]\).
Quel prix minimum le casino soit-il faire payer une partie pour ne pas être perdant en moyenne ?
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