Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7417] ccinp PC 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de lois géométriques de paramètres respectifs \(p_1\in\left]0,1\right[\) et \(p_2\in\left]0,1\right[\).

1. Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).

2. Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).

[planches/ex8261] mines PSI 2022 Soient \(X\), \(Y\) des variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). On pose \(M=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).

1. Justifier que \(M\) est une variable aléatoire.

2. Déterminer la loi de \(M\).

3. Déterminer l’espérance et la variance de \(M\) en utilisant \(m=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).

[oraux/ex8390] centrale PC 2015 (avec Python)

Une urne contient des boules numérotées de 1 à \(n\). Le premier joueur tire des boules de l’urne sans remise. Il s’arrête lorsqu’il obtient la boule portant le numéro \(n\). On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par le premier joueur. Le deuxième joueur effectue des tirages sans remise jusquà ce qu’il obtienne la boule de numéro maximal restant dans l’urne. On note \(X_2\) le nombre de tirages effetcués par le deuxième joueur. On pose \(X_2=0\) si \(X_1=n\).

1. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X_1\).

2. Déterminer \(\mathbf{P}(X_2=k|X_1=j)\). En déduire la loi de \(X_2\) ainsi que son espérance.

3. Écrire une fonction simulant \(X_1\) et \(X_2\).

[probas/ex0001] Dans une urne, on place \(n\) boules portant des numéros 2 à 2 distincts.

Un premier joueur effectue des tirages d’une boule sans remise jusqu’à ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numéro.

On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par ce joueur.

S’il reste des boules dans l’urne, un second joueur effectue la même expérience sur les boules restantes.

On note \(X_2\) le nombre de tirages effectués par ce second joueur.

1. Déterminer la loi de \(X_1\) et \(E(X_1)\).

2. Déterminer la loi de \(X_2\) conditionnée par \(X_1\).

3. Calculer \(E(X_2)\).

[planches/ex7895] polytechnique, espci PC 2022 On lance une pièce équilibrée autant de fois qu’il le faut avant de tomber sur pile. On note \(n\) le nombre total de lancers puis on tire aléatoirement un entier de 1 à \(n\) avec probabilité uniforme. On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre ainsi tiré.

1. Calculer \(\mathbf{P}(X=1)\).

2. Calculer l’espérance puis la variance de \(X\).