Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex0334] On dispose de 5 urnes numérotées de 1 à 5.

L’urne numéro \(k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit une urne au hasard et on tire une boule de cette urne. On définit les deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) par : \(X\) est le numéro de l’urne choisie, \(Y\) est le numéro de la boule tirée.

1. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\) ; en déduire les lois de probabilité de \(X\) et de \(Y\).

2. Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).

[oraux/ex8482] mines MP 2016 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On considère \(n\) urnes \(U_1\), … , \(U_n\). Pour \(k=1\), … , \(n\), l’urne \(U_k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit en toute indépendance et uniformité, une urne, puis une boule dans cette urne. La variable aléatoire \(X\) indique le numéro de l’urne choisie, la variable aléatoire \(Y\) le numéro de la boule.

1. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).

2. Calculer l’espérance de \(Y\).

[planches/ex8487] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On se donne deux variables aléatoires indépendantes \(X_n\), \(Y_n\) suivant la loi uniforme sur \(\mathbf{U}_n\).

1. Calculer l’espérance \(E_n\) et la variance \(V_n\) de \(Z_n=|X_n-Y_n|\).

2. Déterminer la limite de chaque suite \((E_n)\) et \((V_n)\).

[planches/ex2689] ensea MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \([[0,n]]\) telles que, pour tout \(k\in[[0,n]]\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(\{Y=k\}\) est la loi uniforme sur \([[0,k]]\). Déterminer la loi de \((X,Y)\) puis la loi de \(X\), en fonction de celle de \(Y\). Calculer l’espérance de \(X\) en fonction de celle de \(Y\).

[oraux/ex6097] escp B/L 2014 Soient \(p\) et \(q\) deux réels tels que \(p\in\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\).

On considère une variable aléatoire réelle discrète \(X\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{B},P)\), dont la loi de probabilité est donnée par : \[X(\Omega)=\mathbf{N}\hbox{ et }\forall k \in \mathbf{N},\ P(X=k)=p\,q^k.\]

1. Montrer que \(X\) admet une espérance et une variance et les calculer.

2. On définit une nouvelle variable aléatoire en posant \(Y =\displaystyle{1\over X+1}\).

   1. Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).

   2. Soit \(n\in \mathbf{N}\) et soit \(x\in\left[0,1\right[\). Rappeler la valeur de la somme \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n x^i.\)

      En déduire que \(\forall n \in \mathbf{N}\), \(\forall t \in\left[0,1\right[\), \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1}{t^k\over k} =-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)-\displaystyle\int_0^t{x^{n+1}\over1-x}\,dx\).

   3. Prouver la convergence et calculer la somme de la série \(\displaystyle\sum\limits_{k\geqslant 1}{t^k\over k}\).

   4. Montrer que \(Y\) admet une espérance et la calculer.

3. Soit \(Z\) une variable aléatoire réelle discrète telle que \(Z(\Omega)=\mathbf{N}\) et telle que pour tout \(k \in \mathbf{N}\), la loi conditionnelle de \(Z\) sachant que \((X=k)\) est réalisé est la loi uniforme sur \([[0,k]]\).

   1. Pour tout \(n\in N\), exprimer \(P(Z=n)\) sous la forme d’une somme.

   2. Montrer que \(Z\) admet une espérance que l’on notera \(E(Z)\).

   3. Calculer \(E(Z)\) (on admettra qu’il est possible de permuter l’ordre des sommations à effectuer).