Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex2052] Une pièce équilibrée est lancée trois fois. On note \(X\) la variable qui vaut 0 ou 1 suivant que face ou pile apparaisse au premier lancer, et \(Y\) est le nombre total de faces qui apparaissent. Soit \(Z=X+Y\).

1. Donner la loi de \(Z\).

2. Calculer \(\mathbf{E}(Z)\), et vérifier que \(\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(X)+\mathbf{E}(Y)\).

3. Calculer \(\mathbf{V}(X)\), \(\mathbf{V}(Y)\) et \(\mathbf{V}(Z)\), et comparer \(\mathbf{V}(Z)\) à \(\mathbf{V}(X)+\mathbf{V}(Y)\).

[planches/ex5507] centrale PC 2019 On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Après chaque lancer, on continue le jeu ou on s’arrête avec probabilité \(1/2\). Soit \(N\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués, \(X\) (resp. \(Y\)) la variable aléatoire égale au nombre de pile (resp. face).

1. Déterminer la loi de \(N\) ainsi que son espérance.

2. Montrer que \(X\) est d’espérance finie et calculer son espérance.

[probas/ex0326] Un sac contient 6 jetons numérotés de 1 à 6. On en tire successivement 3 sans remise. Soit \(X\) la variable aléatoire, qui à chaque tirage, associe le plus grand des numéros tirés, et \(Y\) celle qui associe le numéro intermédiaire.

1. Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\).

2. Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).

3. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).