Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4643] escp S 2004

1. Soient \(X\) une variable aléatoire finie ou discrète qui possède une espérance et \(Y\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\left\{ 1,\ldots,p\right\}\). On suppose que \(P\left( Y=i\right) >0\) pour tout \(i\in \left\{ 1,\ldots ,p\right\}\).

   1. Soit \(i\in \left\{ 1,\ldots ,p\right\}\). Montrer que la loi conditionnelle de \(X\), conditionnée par l’événement \((Y=i)\) admet une espérance qu’on notera \(E(X/Y=i)\).

   2. Prouver la formule suivante : \(E(X)=\sum\limits\limits_{i=1}^{p}E(X/ Y=i)P\left( Y=i\right)\).

2. Soit \(n\) un entier non nul. Montrer que l’on a : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n}k^{2}=\displaystyle{n(n+1)(2n+1)\over6}\).

3. Un technicien assure la maintenance de \(n\) machines-outils de même type qui sont alignées. Deux machines consécutives sont distantes d’une longueur \(\ell\). De temps en temps les machines outils s’arrêtent avec la même probabilité et indépendamment les unes des autres et nécessitent un réglage. Après le réglage d’une machine-outil le technicien reste devant celle-ci, jusqu’à ce qu’une autre machine-outil s’arrête (si c’est la même machine qui retombe en panne, il reste à sa place). La variable aléatoire \(X\) est la distance que parcourt le technicien entre deux réglages. On note \(Y\) la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de la machine devant laquelle se trouve le technicien.

   1. Calculer l’espérance de \(X\).

   2. Déterminer la variance de \(X\).

[probas/ex0241] Une urne contient \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\). On effectue \(N\) tirages avec remise et on note \(Z_n\) le nombre de numéros non encore sortis à l’issue du \(n\)-ième tirage.

1. Déterminer la loi de \(Z_1\).

2. Calculer \(E(Z_n)\).

3. Déterminer la probabilité d’obtenir au \(n\)-ième tirage un numéro qui n’est pas encore sorti.

[probas/ex0010] Soit \((X,Y)\) un couple de V.A.R. à valeurs dans \(\mathbf{N}^2\) tel que : \[\forall(j,k)\in\mathbf{N}^2,\quad P([X=j]\cap[Y=k])={j+k\over e\cdot2^{j+k}j\,!\,k\,!}.\]

1. Vérifier que l’on a bien défini ainsi la loi de probabilité de \((X,Y)\).

2. Calculer \(E(2^{X+Y})\).

[probas/ex1470] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer la variance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).

[probas/ex1467] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).