Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4638] escp S 2004

1. 1. Compléter les lignes de programme suivantes pour en faire un programme complet :

      randomize;
N:=random(m)+1;X:=0;
For i:=1 to N Do X:=X+random(2);
Writeln(N,’ ’,X);

      (on rappelle que lorsque \(a\) est un integer, random(a) renvoie une valeur integer au hasard comprise entre 0 et \(a-1\), et que la procédure randomize permet d’initialiser la fonction random.)

   2. On suppose que la première valeur affichée est \(4\). Quelles sont les valeurs possibles pour la seconde valeur affichée ?

2. On suppose que le programme précédent simule une expérience aléatoire. Quelle est alors la loi suivie par la variable aléatoire simulée par \(N\), son espérance, sa variance ?

3. Préciser \(X(\Omega)\) et calculer, pour tout couple \((i,k)\), \(P(X=i/N=k)\). En déduire la loi de \(X\).

4. Déterminer l’espérance de \(X\).

[planches/ex2857] escp courts S 2018 Soient \(n\) et \(m\) deux entiers tels que \(n\geqslant m\geqslant 1\), et \(p\in\left]0,1\right[\). On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\), indépendantes, telles que \(X\hookrightarrow\mathscr{B}(n,p)\) et \(Y\hookrightarrow\mathscr{B}(m,p)\).

On pose \(D=X-Y\). Donner la loi de \(D\) ; calculer son espérance et sa variance.

[planches/ex8266] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur \([[1,n]]\). Soit \(m\in[[1,n]]\). Soit \(Z\) telle que \(Z=X\) si \(Y\leqslant m\), et \(Z=Y\) sinon.

1. Déterminer la loi de \(Z\).

2. Calculer les espérances de \(X\), \(Y\) et \(Z\).

3. Pour quels entiers \(m\in[[1,n]]\) l’espérance \(\mathbf{E}(Z)\) est-elle maximale ?

[planches/ex8840] centrale PC 2022 Deux joueurs jouent à tirer l’un après l’autre dans leur propre urne des boules avec remises. Dans l’urne du joueur 1, il y a une proportion \(p_1\) de boules rouges. Dans l’urne du joueur 2, il a une proportion \(p_2\) de boules rouges. La partie se joue en plusieurs manches : à la première manche, le joueur 1 tire une boule dans son urne et la remet, à la deuxième manche, le joueur 2 tire une boule dans son urne et la remet et ainsi de suite… Le jeu s’arrête lorsqu’un joueur a tiré une boule rouge.

1. Montrer que le jeu s’arrête presque sûrement.

2. Proposer des proportions \(p_1\) et \(p_2\) de sorte que les joueurs aient autant de chance de gagner chacun.

3. Donner l’espérance du nombre de manches jouées.

[probas/ex1078] Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On en tire successivement deux échantillons aléatoires de taille 3 et 5 respectivement, ceci sans remise. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de boules blanches dans chacun de ces échantillons ; calculer \(E(X/Y=i)\) pour \(i=1\), 2, 3, 4.