Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4639] escp S 2004 On considère une variable aléatoire \(X\) telle que : \(X(\Omega)=\mathbf{N}\) et \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(P(X=k)=p.q^k\), où \(p\) est un réel fixé de \(\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\).

1. Montrer que \(X\) admet des moments de tous ordres et calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).

2. On pose \(Y=\displaystyle{1\over X+1}\).

   1. Déterminer la loi de \(Y\).

   2. Montrer que pour \(t\in\left[0,1\right[\) et \(n\in\mathbf{N}\) : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n+1}\displaystyle{t^k\over k}+\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)=\displaystyle\int_0^t{x^{n+1}\over 1-x}\,dx\).

   3. En déduire que pour \(t\in\left[0,1\right[\), \(\sum\limits\limits_{k=1}^{+\infty}\displaystyle{t^k\over k}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\).

   4. Montrer que \(Y\) admet une espérance et calculer \(E(Y)\).

3. Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) telle que, pour tout \(k\) de \(\mathbf{N}\), la loi conditionnelle de \(Z\) conditionnée par la réalisation de l’événement \((X=k)\) est uniforme sur \([[0;k]]\).

   1. Déterminer la loi de \(Z\) (on laissera les résultats sous forme de sommes).

   2. Montrer que \(Z\) admet une espérance.

[probas/ex1842] Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi binomiale de paramètres \((n,p)\) et \((m,p)\) respectivement. Soit \(Z=X+Y\) ; à l’aide de la série génératrice des moments de \(Z\), déterminer la loi de \(Z\).

[concours/ex4924] escp S 2001

1. Soient deux entiers naturels \(n\) et \(r\) avec \(0\leqslant r\leqslant n\).

   On définit la fonction \(F_{r,n}\) sur \(\mathbf{R}\) par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad F_{r,n}(x)=\sum\limits\limits_{k=r}^n{k\choose r} x^k.\]

   1. Montrer que pour tout \(x\) réel, on a \((1-x)F_{r,n}(x)\ =\ xF_{r-1,n-1}(x) - \displaystyle{n\choose r} x^{n+1}\).

   2. Soit \(x\in\left]0,1\right[\) et \(r\in \mathbf{N}\) fixés. Donner un équivalent simple de \(\displaystyle{n\choose r}x^{n+1}\) quand \(n\) tend vers l’infini.

   3. Montrer que pour tout \(x\) tel que \(0<x<1\) et \(r\in\mathbf{N}\) fixés, \(F_{r,n}(x)\) admet une limite lorsque \(n\) tend vers l’infini et déterminer cette limite.

   On dispose de deux pièces de monnaie. La première pièce donne « Pile » avec la probabilité \(p\) et la seconde avec la probabilité \(q=1-p\). (\(p\in\left]0,1\right[\)).

   • on lance la première pièce jusqu’à obtenir pour la première fois « Pile ». Soit \(N\) le nombre de lancers effectués.

   • On lance alors \(N\) fois la seconde pièce et on note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de « Pile » obtenus durant ces \(N\) tirages.

2. 1. Déterminer la loi de \(X\).

   2. Calculer son espérance. Commenter les cas où \(p=q=1/2\) et où \(p\) est de la forme \(1/r\).

[oraux/ex6003] hec courts S 2014 Soit \(\mathscr{E}\) un ensemble de variables aléatoires discrètes centrées définies sur un même espace probabilisé et admettant une variance.

1. Justifier l’existence de \(V_0=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{V(X),\ X\in\mathscr{E}\}\).

2. On suppose que pour tout \((X_1,X_2)\in\mathscr{E}^2\), on a \(\displaystyle{1\over2}(X_1+X_2)\in\mathscr{E}\).

   Soit \((X_1,X_2)\in\mathscr{E}^2\) avec \(V(X_1)=V(X_2)=V_0\). Montrer que \(X_1=X_2\) presque sûrement.

[concours/ex4849] escp S 2002 On considère les lancers successifs (indépendants) d’une pièce non pipée et on note \(T\) le nombre de Face précédant le premier Pile. On propose à un joueur la suite de paris suivante :

• Pari \(P_0\): si \(T=0\), on perd \(1\) Euro; si \(T=1\), on gagne \(3\) Euros; sinon on ne gagne ni ne perd rien;

• Pari \(P_1\): si \(T=1\), on perd \(4\) Euros; si \(T=2\), on gagne \(9\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;

• Pari \(P_2\): si \(T=2\), on perd \(10\) Euros ; si \(T=3\), on gagne \(27\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;

• Pari \(P_n\): si \(T=n\), on perd \(3^n+1\) Euros; si \(T=n+1\), on gagne \(3^{n+1}\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;

1. Chaque pari est-il favorable au joueur ?

2. Calculer l’espérance du gain \(\Gamma\) si le joueur parie sur la suite de tous les résultats.