Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9106] hec E 2010 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\), qui suit la loi binomiale \(\mathscr{B}(n,p)\), avec \(n\geqslant 2\) et \(0<p<1\).

On définit sur \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\) une variable aléatoire \(Y\) de la façon suivante :

• pour tout \(k\) de \([[1,n]]\), la réalisation de l’événement \([X=k]\) entraîne celle de l’événement \([Y=k]\) ;

• la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X=0]\) est la loi uniforme sur \([[1,n]]\).

1. Question de cours : Le modèle binomial.

2. Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).

3. Calculer l’espérance \(\mathbf{E}(Y)\) de \(Y\).

4. 1. Déterminer la loi de probabilité conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).

   2. Calculer l’espérance, notée \(\mathbf{E}(Y/X\neq0)\), de la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).

[probas/ex2316] Vrai ou faux ?

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires ayant même loi et admettant une variance. Alors \(\mathbf{E}(XY)=\mathbf{E}(X^2)\).

[probas/ex2300] Vrai ou faux ?

Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables possédant une variance et si \(X\leqslant Y\), alors on a : \(\mathbf{V}(X)\leqslant\mathbf{V}(Y)\).

[concours/ex4849] escp S 2002 On considère les lancers successifs (indépendants) d’une pièce non pipée et on note \(T\) le nombre de Face précédant le premier Pile. On propose à un joueur la suite de paris suivante :

• Pari \(P_0\): si \(T=0\), on perd \(1\) Euro; si \(T=1\), on gagne \(3\) Euros; sinon on ne gagne ni ne perd rien;

• Pari \(P_1\): si \(T=1\), on perd \(4\) Euros; si \(T=2\), on gagne \(9\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;

• Pari \(P_2\): si \(T=2\), on perd \(10\) Euros ; si \(T=3\), on gagne \(27\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;

• Pari \(P_n\): si \(T=n\), on perd \(3^n+1\) Euros; si \(T=n+1\), on gagne \(3^{n+1}\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;

1. Chaque pari est-il favorable au joueur ?

2. Calculer l’espérance du gain \(\Gamma\) si le joueur parie sur la suite de tous les résultats.

[probas/ex2282] Vrai ou faux ?

Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires possédant une espérance, alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\) possèdent également une espérance.