Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4776] escp S 2012 Une urne contient \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\) et \(k\) boules bleues non numérotées. Les boules sont tirées avec remise jusqu’à ce qu’une boule bleue soit tirée. Au cours de ces tirages, on définit le nombre \(R\) de répétitions de la manière suivante :

au début, \(R =0\). Ensuite, on ajoute \(1\) à \(R\) dès que l’on obtient une boule numérotée qui avait été déjà tirée précédemment.

1. Déterminer les probabilités des événements suivants :

   • \(A_1=\) « la première boule tirée est la boule numéro \(1\) ».

   • \(A_2=\) « la première boule tirée est une boule portant un numéro strictement supérieur à \(1\) ».

   • \(A_3=\) « la première boule tirée est une boule bleue ».

2. On note \(A_0\) l’événement « la boule numéro \(1\) n’est jamais tirée lors du jeu ». En utilisant la formule des probabilités totales avec les événements précédents, montrer que \(P(A_0) = \displaystyle{k\over k+1}\).

3. On note \(X\) le nombre de fois où l’on a tiré la boule \(1\) au cours du jeu. En utilisant un raisonnement analogue à celui de la question précédente, montrer que \(E(X) = \displaystyle{1\over k}\).

4. On définit la variable aléatoire \(Y\) par : \[\cases{\hbox{Si $X\geqslant 1$, alors $Y=X-1$}\cr \hbox{Si $X=0$, alors $Y=0$}\cr}\] (\(Y\) est donc le nombre de répétitions de la boule numérotée \(1\).)

   Montrer que \(E(Y) =\sum\limits_{m\geqslant 1} (m-1) P(X = m)\) puis que \(E(Y) = \displaystyle{1\over k(k+1)}\).

   Soit \(r\) un entier naturel. On recherche la valeur minimale de \(k\) (en fonction de \(n\) et \(r\)) de manière à ce que le nombre moyen \(t\) de répétitions soit inférieur ou égal à \(r\).

5. Montrer que \(t = n E(Y)\).

6. En déduire que la valeur minimale recherchée est \(k_0 = \left\lfloor{\sqrt{\displaystyle{n\over r} + {1\over4}} - \displaystyle{1\over2}}\right\rfloor\).

[oraux/ex6074] escp S 2014 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) admettant un moment d’ordre \(2\).

Déterminer la valeur qui minimise l’application définie sur \(\mathbf{R}\) par \(x\mapsto E((X-x)^2)\), où \(E\) désigne l’opérateur espérance.

Dans la suite de l’exercice, on considère un ensemble fini \(\Omega=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) et \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P)\) un espace probabilisé de support \(\Omega\).

Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur cet espace. Pour tout réel \(t\), on définit l’application \(P_t~: \Omega \rightarrow \mathbf{R}\) par : \[\hbox{pour tout }A\in\mathscr{P}(\Omega),\ P_t(A)={E({\bf 1}_A\, e^{tX})\over E(e^{tX})}\] où \({\bf 1}_A\) est la fonction indicatrice de l’ensemble \(A\).

1. Montrer que l’on définit ainsi une probabilité sur \(\Omega\) et que pour tout \(\omega\in \Omega\) : \[P_t(\omega)={P(\omega)e^{tX(\omega)}\over E(e^{tX})}\]

2. 1. Soit \(Y\) une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathscr{P}(\Omega),P_t)\). Calculer \(E_t(Y)\).

   2. Que peut-on dire de \(E_t(Y)\) si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ?

   3. Dans cette question \(\Omega=\{0, 1, \ldots, n\}\) et \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). On pose \(Y=2^X\). Calculer \(E_t(Y)\).

3. On revient au cas général. À l’aide de la question préliminaire, montrer que : \[E_t((X-E_t(X))^2) \leqslant{1\over4}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{\omega\in\Omega}X(\omega)- \mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)\right)^2\]

[concours/ex4916] escp S 2001 Soit \(n\) un entier naturel non nul. Une boîte contient \((2n+1)\) jetons bicolores (une face est blanche, l’autre est noire). Les jetons sont numérotés de \(1\) à \(2n+1\) sur leur face blanche, les faces noires ne portant pas de numéro.

On lance simultanément tous les jetons et on observe leurs faces supérieures.

1. Une et une seulement des deux couleurs apparaît un nombre impair de fois. Soit \(X\) la variable aléatoire associée à ce nombre.

   1. Déterminer la loi de \(X\).

   2. Calculer son espérance et sa variance.

2. Suite au lancer, on ramasse les jetons de la couleur apparaissant un nombre impair de fois et on note les numéros de leur face blanche. Soit \(Y\) la variable aléatoire représentant le plus petit de ces nombres.

   1. Soit \(k\in[[0,n]]\), déterminer la loi conditionnelle de \(Y\), conditionnée par l’événement \((X=2k+1)\).

   2. En déduire la loi de \(Y\). Calculer son espérance.

[concours/ex4721] escp S 2003

1. Soit \(n\in \mathbf{N}^*\) et \(x\) un réel. Calculer \(\sum\limits\limits_{k=0}^n k \displaystyle{n\choose k}x^k\) en fonction de \(n\) et \(x\).

2. Un boulanger possède un ensemble de pochettes surprise. Lorsqu’on en achète une on peut :

   • soit gagner une montre avec une probabilité de \(m\),

   • soit gagner un euro avec une probabilité de \(e\),

   • soit ne rien gagner.

   Un client achète \(n\) pochettes. On désigne par \(M\) la variable aléatoire égale au nombre de montres gagnées et \(E\) la variable aléatoire égale au nombre d’euros gagnés.

   1. Déterminer la loi de \(M\).

   2. Déterminer la loi conjointe du couple \((M,E)\).

3. On suppose que \(k\) pochettes ont rapporté quelque chose.

   Soit \(T_k\) la variable aléatoire égale à la proportion de pochettes ayant rapporté une montre par rapport au nombre de pochettes ayant rapporté quelque chose.

   Déterminer la loi de \(T_k\).

   Calculer l’espérance \(E(T_k)\) en fonction de \(m\) et \(e\).

[probas/ex1842] Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi binomiale de paramètres \((n,p)\) et \((m,p)\) respectivement. Soit \(Z=X+Y\) ; à l’aide de la série génératrice des moments de \(Z\), déterminer la loi de \(Z\).