Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1921] polytechnique, espci PC 2017 Une machine produit deux types de pièces : le type \(A\) avec probabilité \(a\), le type \(B\) avec probabilité \(b=1-a\). Chaque pièce est défectueuse avec une probabilité \(p\), indépendante du type, et indépendamment d’une pièce à l’autre. La machine s’arrête dès qu’elle a produit une pièce du type \(A\).

1. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses au moment de l’arrêt de la machine. Déterminer \(\mathbf{E}(X)\) sans déterminer complètement la loi de \(X\). Commenter.

2. Déterminer la loi de \(X\) et retrouver le résultat précédent.

[concours/ex4639] escp S 2004 On considère une variable aléatoire \(X\) telle que : \(X(\Omega)=\mathbf{N}\) et \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(P(X=k)=p.q^k\), où \(p\) est un réel fixé de \(\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\).

1. Montrer que \(X\) admet des moments de tous ordres et calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).

2. On pose \(Y=\displaystyle{1\over X+1}\).

   1. Déterminer la loi de \(Y\).

   2. Montrer que pour \(t\in\left[0,1\right[\) et \(n\in\mathbf{N}\) : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n+1}\displaystyle{t^k\over k}+\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)=\displaystyle\int_0^t{x^{n+1}\over 1-x}\,dx\).

   3. En déduire que pour \(t\in\left[0,1\right[\), \(\sum\limits\limits_{k=1}^{+\infty}\displaystyle{t^k\over k}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\).

   4. Montrer que \(Y\) admet une espérance et calculer \(E(Y)\).

3. Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) telle que, pour tout \(k\) de \(\mathbf{N}\), la loi conditionnelle de \(Z\) conditionnée par la réalisation de l’événement \((X=k)\) est uniforme sur \([[0;k]]\).

   1. Déterminer la loi de \(Z\) (on laissera les résultats sous forme de sommes).

   2. Montrer que \(Z\) admet une espérance.

[probas/ex1741] Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires. Montrer que : \[[E(XY)]^2\leqslant E(X^2)\,E(Y^2).\] Cette inégalité est connue sous le nom d’inégalité de Cauchy-Schwarz.

[oraux/ex4776] escp S 2012 Une urne contient \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\) et \(k\) boules bleues non numérotées. Les boules sont tirées avec remise jusqu’à ce qu’une boule bleue soit tirée. Au cours de ces tirages, on définit le nombre \(R\) de répétitions de la manière suivante :

au début, \(R =0\). Ensuite, on ajoute \(1\) à \(R\) dès que l’on obtient une boule numérotée qui avait été déjà tirée précédemment.

1. Déterminer les probabilités des événements suivants :

   • \(A_1=\) « la première boule tirée est la boule numéro \(1\) ».

   • \(A_2=\) « la première boule tirée est une boule portant un numéro strictement supérieur à \(1\) ».

   • \(A_3=\) « la première boule tirée est une boule bleue ».

2. On note \(A_0\) l’événement « la boule numéro \(1\) n’est jamais tirée lors du jeu ». En utilisant la formule des probabilités totales avec les événements précédents, montrer que \(P(A_0) = \displaystyle{k\over k+1}\).

3. On note \(X\) le nombre de fois où l’on a tiré la boule \(1\) au cours du jeu. En utilisant un raisonnement analogue à celui de la question précédente, montrer que \(E(X) = \displaystyle{1\over k}\).

4. On définit la variable aléatoire \(Y\) par : \[\cases{\hbox{Si $X\geqslant 1$, alors $Y=X-1$}\cr \hbox{Si $X=0$, alors $Y=0$}\cr}\] (\(Y\) est donc le nombre de répétitions de la boule numérotée \(1\).)

   Montrer que \(E(Y) =\sum\limits_{m\geqslant 1} (m-1) P(X = m)\) puis que \(E(Y) = \displaystyle{1\over k(k+1)}\).

   Soit \(r\) un entier naturel. On recherche la valeur minimale de \(k\) (en fonction de \(n\) et \(r\)) de manière à ce que le nombre moyen \(t\) de répétitions soit inférieur ou égal à \(r\).

5. Montrer que \(t = n E(Y)\).

6. En déduire que la valeur minimale recherchée est \(k_0 = \left\lfloor{\sqrt{\displaystyle{n\over r} + {1\over4}} - \displaystyle{1\over2}}\right\rfloor\).

[planches/ex6857] mines MP 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p\) et \(q\) dans \(\left]0,1\right[\). On pose \(Z_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-n(X+Y))\). Justifier que \(Z_n\) admet une variance. Trouver un équivalent de \(\mathbf{V}(Z_n)\).