Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex1078] Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On en tire successivement deux échantillons aléatoires de taille 3 et 5 respectivement, ceci sans remise. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de boules blanches dans chacun de ces échantillons ; calculer \(E(X/Y=i)\) pour \(i=1\), 2, 3, 4.

[probas/ex1842] Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi binomiale de paramètres \((n,p)\) et \((m,p)\) respectivement. Soit \(Z=X+Y\) ; à l’aide de la série génératrice des moments de \(Z\), déterminer la loi de \(Z\).

[planches/ex4225] escp S 2018

On rappelle les résultats suivants :

1. Soit \(I\) un ensemble dénombrable infini indexé par \(\mathbf{N}\) sous la forme \(I=\{\phi(n),\ n\in\mathbf{N}\}\), où \(\phi\) est une bijection de \(\mathbf{N}\) dans \(I\). Si la série \(\displaystyle\sum\limits u_{\phi(n)}\) converge absolument, alors sa somme est indépendante de l’indexation \(\phi\), et pourra également être notée \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\). On dit alors que la série \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\) converge absolument.

2. Dans ce cas, si \(\displaystyle I=\bigsqcup_{j\in J}I_j\) (union disjointe) avec \(J\) un ensemble dénombrable et \(I_j\) des ensembles dénombrables pour tout \(j\), alors pour tout \(j\), \(\displaystyle\sum\limits_{k\in I_j}u_k\) converge absolument, et \[\sum\limits_{i\in I}u_i=\sum\limits_{j\in J}\left[\sum\limits_{k\in I_j}u_k\right].\]

3. Si \(I\) et \(J\) sont des ensembles dénombrables et si \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\) et \(\displaystyle\sum\limits_{j\in J}v_j\) sont absolument convergentes, alors \(\displaystyle\sum\limits_{(i,j)\in I\times J}\left(\vphantom{|_|}u_i\,v_j\right)\) aussi, et \[\left(\sum\limits_{i\in I}u_i\right)\left(\sum\limits_{j\in J}v_j\right)=\sum\limits_{(i,j)\in I\times J}\left(\vphantom{|_|}u_i\,v_j\right)\]

On prendra soin de justifier clairement, à l’aide de ces résultats, les calculs de sommes de séries qu’on sera amené à faire ci-dessous.

Soit \(p\) et \(q\) deux réels de l’intervalle \(\left]0,1\right[\).

1. Vérifier que : \(\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2\), \(\mathbf{P}[(i,j)]=p\,q\,(1-p)^i\,(1-q)^j\) définit bien une probabilité \(\mathbf{P}\) sur \(\mathbf{N}^2\).

2. 1. Déterminer les lois des variables aléatoires discrètes \(X\) et \(Y\) définies sur \(\left(\vphantom{|_|}\smash{\mathbf{N}^2,\mathscr{P}(\mathbf{N}^2),\mathbf{P}}\right)\) par \[\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2,\quad X(i,j)=i\quad\hbox{et}\quad Y(i,j)=j\] et les relier à des lois connues.

   2. Calculer \(\mathbf{P}(X=Y)\) et \(\mathbf{P}(X>Y)\).

3. Soit \(Z\) la variable aléatoire discrète définie par : \[\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2,\quad Z(i,j)=\cases{\phantom{-}1&si $i$ et $j$ sont pairs,\cr-1&si $i$ et $j$ sont impairs,\cr\phantom{-}0&si $i$ et $j$ sont de parités différentes.}\] Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.

4. Soit \(D\) l’ensemble défini par \(D=\left\{\vphantom{|_|}(i,i),\ i\in\mathbf{N}\right\}\). Justifier que la série \(\displaystyle\sum\limits_{(i,i)\in D}Z(i,i)\,\mathbf{P}(i,i)\) est absolument convergente et calculer sa somme.

[probas/ex1077] On lance plusieurs fois un dé équilibré. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de jets nécessaires pour obtenir un 6 et un 5, respectivement. Trouver :

1. \(E(X)\) ;

2. \(E(X/Y=1)\) ;

3. \(E(X/Y=5)\).

[probas/ex0010] Soit \((X,Y)\) un couple de V.A.R. à valeurs dans \(\mathbf{N}^2\) tel que : \[\forall(j,k)\in\mathbf{N}^2,\quad P([X=j]\cap[Y=k])={j+k\over e\cdot2^{j+k}j\,!\,k\,!}.\]

1. Vérifier que l’on a bien défini ainsi la loi de probabilité de \((X,Y)\).

2. Calculer \(E(2^{X+Y})\).