Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex0008] Dans un casino, un croupier mélange trois cartes : As de cœur, Roi de cœur, Valet de pique et les présente face cachée sur une table. Un joueur choisit l’une de ces trois cartes au hasard. Si c’est un cœur, il gagne 1€ si c’est l’As, 2€ si c’est le Roi et le jeu recommence. Si c’est le Valet de pique, le jeu s’arrête.

On note \(N\) le nombre de cartes tirées avant l’apparition du Valet de pique et \(S\) la somme gagnée (en €).

1. Déterminer la loi de \(N\). Quelle est la probabilité que le Valet de pique ne soit jamais tiré ?

2. Déterminer la loi de \(S\) sachant \([N=n]\).

3. Quel prix minimum le casino soit-il faire payer une partie pour ne pas être perdant en moyenne ?

[planches/ex8840] centrale PC 2022 Deux joueurs jouent à tirer l’un après l’autre dans leur propre urne des boules avec remises. Dans l’urne du joueur 1, il y a une proportion \(p_1\) de boules rouges. Dans l’urne du joueur 2, il a une proportion \(p_2\) de boules rouges. La partie se joue en plusieurs manches : à la première manche, le joueur 1 tire une boule dans son urne et la remet, à la deuxième manche, le joueur 2 tire une boule dans son urne et la remet et ainsi de suite… Le jeu s’arrête lorsqu’un joueur a tiré une boule rouge.

1. Montrer que le jeu s’arrête presque sûrement.

2. Proposer des proportions \(p_1\) et \(p_2\) de sorte que les joueurs aient autant de chance de gagner chacun.

3. Donner l’espérance du nombre de manches jouées.

[planches/ex6857] mines MP 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p\) et \(q\) dans \(\left]0,1\right[\). On pose \(Z_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-n(X+Y))\). Justifier que \(Z_n\) admet une variance. Trouver un équivalent de \(\mathbf{V}(Z_n)\).

[probas/ex2091] Deux cartes sont tirées au hasard d’un jeu en contenant 5, numérotées 1, 1, 2, 2 et 3. Soit \(X\) la somme et \(Y\) le maximum des deux nombres obtenus. Calculer la loi, l’espérance, la variance et l’écart-type de \(X\), \(Y\), \(Z=X+Y\), \(W=XY\).

[probas/ex2316] Vrai ou faux ?

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires ayant même loi et admettant une variance. Alors \(\mathbf{E}(XY)=\mathbf{E}(X^2)\).