Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0894] escp courts S 2021 Dans une urne contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\), on pioche une boule ; si elle porte le numéro \(k\), on remet alors \(k\) boules de numéro \(k\) dans l’urne. On note \(X\), le numéro de la première boule, \(Y\) celui de la deuxième.

1. Donner la loi de \(X\), puis la loi de \(Y\), en fonction de \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{m=n+1}^{2n}{1\over m}\).

2. Calculer l’espérance de \(Y\).

[planches/ex4055] ccp MP 2018 Soient \(n\in\mathbf{N}\), \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\{1,\ldots,n+1\}\) telles que, pour tout \((i,j)\in\{1,\ldots,n+1\}^2\), \(\mathbf{P}(X=i,Y=j)=a_{i,j}=\lambda\displaystyle{n\choose i-1}{n\choose j-1}\), où \(\lambda\in\mathbf{R}_+^*\).

1. Montrer que \(\lambda=\displaystyle{1\over4^n}\).

2. Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\).

3. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?

4. Trouver à l’aide de la variable aléatoire \(X-1\) l’espérance et la variance de \(X\).

   On note \(B=(b_{i,j})_{(i,j)\in[[1,n+1]]^2}\in\mathscr{M}_{n+1}(\mathbf{R})\) avec \(b_{i,j}=\mathbf{P}(Y=i|X=j)\).

5. Calculer \(B^2\) .

6. Déterminer les valeurs propres de \(B\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ? Déterminer la dimension des sous-espaces propres associés.

[concours/ex9106] hec E 2010 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\), qui suit la loi binomiale \(\mathscr{B}(n,p)\), avec \(n\geqslant 2\) et \(0<p<1\).

On définit sur \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\) une variable aléatoire \(Y\) de la façon suivante :

• pour tout \(k\) de \([[1,n]]\), la réalisation de l’événement \([X=k]\) entraîne celle de l’événement \([Y=k]\) ;

• la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X=0]\) est la loi uniforme sur \([[1,n]]\).

1. Question de cours : Le modèle binomial.

2. Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).

3. Calculer l’espérance \(\mathbf{E}(Y)\) de \(Y\).

4. 1. Déterminer la loi de probabilité conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).

   2. Calculer l’espérance, notée \(\mathbf{E}(Y/X\neq0)\), de la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).

[planches/ex1921] polytechnique, espci PC 2017 Une machine produit deux types de pièces : le type \(A\) avec probabilité \(a\), le type \(B\) avec probabilité \(b=1-a\). Chaque pièce est défectueuse avec une probabilité \(p\), indépendante du type, et indépendamment d’une pièce à l’autre. La machine s’arrête dès qu’elle a produit une pièce du type \(A\).

1. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses au moment de l’arrêt de la machine. Déterminer \(\mathbf{E}(X)\) sans déterminer complètement la loi de \(X\). Commenter.

2. Déterminer la loi de \(X\) et retrouver le résultat précédent.

[concours/ex5019] escp S 2000 Si \(X\) est un ensemble, on note \({\cal P}(X)\) l’ensemble des parties de \(X\) et pour tout entier naturel \(k\), \({\cal P}_k(X)\) désigne l’ensemble des parties de \(X\) à \(k\) éléments.

Dans tout l’exercice, \(n\) est un entier naturel non nul et \(E_n\) désigne l’ensemble \(\{1,2,\ldots ,n\}\).

1. Soient \(a\) et \(b\) deux entiers tels que \(1\leqslant a\leqslant n\) et \(1\leqslant b\leqslant n\). On tire au hasard une partie \(A\) dans \({\cal P}_a(E_n)\) et une partie \(B\) dans \({\cal P}_b(E_n)\). On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre d’éléments de \(A\cap B\) et \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre d’éléments de \(A\cup B\).

   1. Dans le cas particulier où \(n=7\), \(a=4\), \(b=2\), déterminer la loi de \(X\).

   2. Dans le cas général, calculer l’espérance des variables \(X\) et \(Y\).

   3. Sous la contrainte \(a+b=n\), quels sont les couples \((a,b)\) pour lesquels l’espérance de \(X\) est maximale ?

2. On tire au hasard une partie \(C\) dans \({\cal P}(E_n)\), puis on tire au hasard une partie \(D\) dans \({\cal P}(C)\). On note \(Z\) la variable aléatoire égale au cardinal de \(D\).

   Déterminer la loi de \(Z\) et son espérance.