Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6359] escp courts 2016 On utilise une pièce de monnaie qui donne pile avec la probabilité \(p \in\left]0,1\right[\).

On commence par lancer la pièce jusqu’à obtenir une première fois Pile et on note \(N\) le nombre de lancers nécessaires. Si le premier Pile a été obtenu au \(n\)-ième lancer, on lance ensuite cette même pièce \(n^2\) fois et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de ces \(n^2\) lancers.

1. Quelle est la loi suivie par \(N\) ? Donner l’espérance et la variance de \(N\).

2. Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant l’événement \((N=n)\).

3. En déduire l’existence et la valeur de l’espérance de \(X\).

[oraux/ex8315] polytechnique MP 2015 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé et à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On suppose \(Y\) d’espérance finie.

1. Montrer qu’il existe une fonction \(g:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(g(X)\) soit d’espérance finie et, pour toute fonction \(f:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) bornée, on ait \(\mathbf{E}(Yf(X))=\mathbf{E}(g(X)f(X))\).

2. Montrer que \(g\) est unique à un ensemble de probabilité nulle (pour la loi de \(X\)) près.

[planches/ex8157] mines MP 2022 Soient \(X\), \(Y\) deux variables indépendantes à valeurs dans \(\mathbf{N}\). On suppose que, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(\mathbf{P}(Y=k)>0\), et que \(\mathbf{E}(Y)<\infty\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on définit la variable aléatoire \(Z_n\) par \(Z_n(\omega)=X(\omega)\) si \(Y(\omega)\leqslant n\) et \(Z_n(\omega)=Y(\omega)\) sinon. Montrer que la suite \(\mathbf{E}(Z_n)\) possède une valeur maximale pour au plus deux valeurs de \(n\).

[probas/ex0326] Un sac contient 6 jetons numérotés de 1 à 6. On en tire successivement 3 sans remise. Soit \(X\) la variable aléatoire, qui à chaque tirage, associe le plus grand des numéros tirés, et \(Y\) celle qui associe le numéro intermédiaire.

1. Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\).

2. Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).

3. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).

[probas/ex1741] Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires. Montrer que : \[[E(XY)]^2\leqslant E(X^2)\,E(Y^2).\] Cette inégalité est connue sous le nom d’inégalité de Cauchy-Schwarz.