Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex1741] Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires. Montrer que : \[[E(XY)]^2\leqslant E(X^2)\,E(Y^2).\] Cette inégalité est connue sous le nom d’inégalité de Cauchy-Schwarz.

[planches/ex8260] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre \(p\).

1. Déterminer la loi de la variable \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) ; préciser son espérance et sa fonction génératrice.

2. Montrer que la variable \(\displaystyle{1\over T(T+1)}\) admet une espérance finie puis la calculer.

[concours/ex9106] hec E 2010 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\), qui suit la loi binomiale \(\mathscr{B}(n,p)\), avec \(n\geqslant 2\) et \(0<p<1\).

On définit sur \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\) une variable aléatoire \(Y\) de la façon suivante :

• pour tout \(k\) de \([[1,n]]\), la réalisation de l’événement \([X=k]\) entraîne celle de l’événement \([Y=k]\) ;

• la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X=0]\) est la loi uniforme sur \([[1,n]]\).

1. Question de cours : Le modèle binomial.

2. Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).

3. Calculer l’espérance \(\mathbf{E}(Y)\) de \(Y\).

4. 1. Déterminer la loi de probabilité conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).

   2. Calculer l’espérance, notée \(\mathbf{E}(Y/X\neq0)\), de la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).

[oraux/ex6083] escp S 2014 On considère une variable aléatoire réelle discrète \(X\) définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) telle que \[X(\Omega)=\mathbf{N} \hbox{ et }\forall k \in \mathbf{N},\ P(X=k)={a^k\over(1+a)^{k+1}},\] où \(a>0\) est fixé.

1. Vérifier que l’on a bien défini une loi de probabilité.

   Dans toute la suite, on désigne par \(Y\) une variable aléatoire indépendante de \(X\), définie sur le même espace probabilisé, et suivant la même loi que \(X\).

2. On considère la variable aléatoire \(Z=X+Y\).

   1. Déterminer la loi de \(Z\).

   2. Trouver l’espérance de la variable aléatoire \(S=\displaystyle{1\over1+Z}\).

   3. Déterminer \(E\left(\displaystyle{X\over1+Z}\right)\).

3. On considère maintenant la variable aléatoire \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits(X,Y)\), définie par :

   pour tout \(\omega \in \Omega\), \(T(\omega) =\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X(\omega), Y(\omega))\).

   1. Déterminer \(P(X\leqslant n)\) pour tout \(n \in \mathbf{N}\).

   2. Prouver que la loi de \(T\) est donnée par \(T(\Omega)=\mathbf{N}\) et : \[\forall m\in\mathbf{N},\ P(T=m)={1+2a\over(1+a)^2}\left({a\over1+a}\right)^{\!2m}.\]

[probas/ex1081] Un prisonnier est enfermé dans une cellule contenant 3 portes. La première ouvre un tunnel qui revient dans la cellule après une marche de 2 jours. La seconde porte donne sur un tunnel qui revient aussi à la cellule au bout d’un voyage de 4 jours. La troisième porte conduit à la liberté au bout d’un jour de marche. On suppose que le prisonnier choisit à chaque tentative les portes 1, 2, et 3 avec des probabilités \(0.5\), \(0.3\) et \(0.2\). Quelle est l’espérance du nombre de jours qu’il faudra au prisonnier pour retrouver sa liberté ?

[concours/ex4916] escp S 2001 Soit \(n\) un entier naturel non nul. Une boîte contient \((2n+1)\) jetons bicolores (une face est blanche, l’autre est noire). Les jetons sont numérotés de \(1\) à \(2n+1\) sur leur face blanche, les faces noires ne portant pas de numéro.

On lance simultanément tous les jetons et on observe leurs faces supérieures.

1. Une et une seulement des deux couleurs apparaît un nombre impair de fois. Soit \(X\) la variable aléatoire associée à ce nombre.

   1. Déterminer la loi de \(X\).

   2. Calculer son espérance et sa variance.

2. Suite au lancer, on ramasse les jetons de la couleur apparaissant un nombre impair de fois et on note les numéros de leur face blanche. Soit \(Y\) la variable aléatoire représentant le plus petit de ces nombres.

   1. Soit \(k\in[[0,n]]\), déterminer la loi conditionnelle de \(Y\), conditionnée par l’événement \((X=2k+1)\).

   2. En déduire la loi de \(Y\). Calculer son espérance.

[probas/ex1467] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).

[concours/ex4639] escp S 2004 On considère une variable aléatoire \(X\) telle que : \(X(\Omega)=\mathbf{N}\) et \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(P(X=k)=p.q^k\), où \(p\) est un réel fixé de \(\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\).

1. Montrer que \(X\) admet des moments de tous ordres et calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).

2. On pose \(Y=\displaystyle{1\over X+1}\).

   1. Déterminer la loi de \(Y\).

   2. Montrer que pour \(t\in\left[0,1\right[\) et \(n\in\mathbf{N}\) : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n+1}\displaystyle{t^k\over k}+\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)=\displaystyle\int_0^t{x^{n+1}\over 1-x}\,dx\).

   3. En déduire que pour \(t\in\left[0,1\right[\), \(\sum\limits\limits_{k=1}^{+\infty}\displaystyle{t^k\over k}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\).

   4. Montrer que \(Y\) admet une espérance et calculer \(E(Y)\).

3. Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) telle que, pour tout \(k\) de \(\mathbf{N}\), la loi conditionnelle de \(Z\) conditionnée par la réalisation de l’événement \((X=k)\) est uniforme sur \([[0;k]]\).

   1. Déterminer la loi de \(Z\) (on laissera les résultats sous forme de sommes).

   2. Montrer que \(Z\) admet une espérance.

[probas/ex2316] Vrai ou faux ?

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires ayant même loi et admettant une variance. Alors \(\mathbf{E}(XY)=\mathbf{E}(X^2)\).

[probas/ex1414] Un couple de variables aléatoires discrètes a pour loi : \[\mathbf{P}(X=x,Y=y)=\displaystyle{2x+y\over42}\hbox{ pour }x\in[[0,2]]\hbox{ et }y\in[[0,3]],\quad0\hbox{ ailleurs.}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X=2\).

[oraux/ex6081] escp S 2014 On considère une succession (éventuellement infinie) de lancers d’une pièce. On suppose que la probabilité d’obtenir Pile lors d’un lancer est \(1-x\) et que la probabilité d’obtenir Face est \(x\). Les résultats des différents lancers sont supposés indépendants.

On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\).

Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(S_n\) le nombre de fois où l’on a obtenu Pile au cours des \(n\) premiers lancers et \(T_n\) le numéro du lancer où l’on obtient Pile pour la \(n\)-ième fois.

1. Préciser la loi de \(S_n\), son espérance et sa variance.

2. 1. Pour tout entier \(k\) et tout entier non nul \(n\), montrer que : \[P(T_n=n+k)={k+n-1\choose n-1}(1-x)^nx^k.\]

   2. Montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty P(T_n=n+k)=1\). Quelle est la signification de ce résultat ?

   3. Montrer que \(T_n\) admet une espérance et calculer \(E(T_n)\).

   4. Calculer de même \(E(T_n(T_n+1))\) ; en déduire la variance de \(T_n\).

3. Soient \(a\) un réel strictement positif et \(\lambda\) un réel strictement supérieur à \(1\). Un joueur joue de la manière suivante : lors du \(k\)-ième lancer il joue la somme \(a^{k-1}\) euros.

   • Si Pile sort, il reçoit la somme de \(\lambda a^{k-1}\) euros et il perd sa mise.

   • Si Face sort, il perd sa mise.

   Puis on passe au lancer suivant…

   On note \(G_n\) la somme des gains (positifs ou négatifs) du joueur après son \(n\)-ième succès. On suppose \(a>1\).

   1. Exprimer \(G_1\) en fonction de \(a^{T_1}\).

   2. Après avoir justifié son existence, calculer \(E(G_1)\).

   3. Exprimer \(G_2\) en fonction de \(a^{T_1}\) et \(a^{T_2}\).

[probas/ex1059] Une bouteille contient initialement \(m\) grandes pilules et \(n\) petites pilules. Chaque jour un patient choisit au hasard une des pilules. S’il choisit une petite pilule, il l’avale. S’il en choisit une grande, il la coupe en deux, il en remet une part (considérée maintenant comme une petite pilule) dans la bouteille et avale l’autre.

1. Soit \(X\) le nombre de petites pilules dans la bouteille après que la dernière grande pilule a été choisie et que sa petite moitié a été replacée. Trouver \(E(X)\).

   Indication : on pourra définir \(n+m\) variables indicatrices, une pour chaque petite pilule présente initialement et une pour chacune des \(m\) petites pilules crées en coupant une grande.

2. Soit \(Y\) le jour où la dernière grande pilule est choisie. Trouver \(E(Y)\).

   Indication : on pourra chercher une relation entre \(X\) et \(Y\).

[probas/ex1470] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer la variance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).

[planches/ex5507] centrale PC 2019 On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Après chaque lancer, on continue le jeu ou on s’arrête avec probabilité \(1/2\). Soit \(N\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués, \(X\) (resp. \(Y\)) la variable aléatoire égale au nombre de pile (resp. face).

1. Déterminer la loi de \(N\) ainsi que son espérance.

2. Montrer que \(X\) est d’espérance finie et calculer son espérance.

[probas/ex1842] Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi binomiale de paramètres \((n,p)\) et \((m,p)\) respectivement. Soit \(Z=X+Y\) ; à l’aide de la série génératrice des moments de \(Z\), déterminer la loi de \(Z\).

[probas/ex1078] Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On en tire successivement deux échantillons aléatoires de taille 3 et 5 respectivement, ceci sans remise. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de boules blanches dans chacun de ces échantillons ; calculer \(E(X/Y=i)\) pour \(i=1\), 2, 3, 4.

[examen/ex0894] escp courts S 2021 Dans une urne contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\), on pioche une boule ; si elle porte le numéro \(k\), on remet alors \(k\) boules de numéro \(k\) dans l’urne. On note \(X\), le numéro de la première boule, \(Y\) celui de la deuxième.

1. Donner la loi de \(X\), puis la loi de \(Y\), en fonction de \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{m=n+1}^{2n}{1\over m}\).

2. Calculer l’espérance de \(Y\).

[probas/ex2300] Vrai ou faux ?

Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables possédant une variance et si \(X\leqslant Y\), alors on a : \(\mathbf{V}(X)\leqslant\mathbf{V}(Y)\).

[concours/ex4746] escp S 2003

Pour \(m\geqslant 1\), on considère une série statistique \((M_i)_{1\leqslant i\leqslant m}\) à deux variables. La première variable est notée \(Z\), la seconde \(T\) et on écrit \(M_i(z_i,t_i)\) pour tout \(i\) de \(\{1,\ldots,m\}\).

Pour les applications numériques on prend \(\overline{Z}=\overline{T}=10\), \(V(Z)=V(T)=9\) et \({\rm cov}(Z,T)=4\) et on pose \(A=\left(\begin{array}{cc}9&4\\ 4&9\end{array}\right)\).

On identifie les éléments de \(\mathbf{R}^2\) et de \({\cal M}_{2,1}(\mathbf{R})\).

1. 1. Diagonaliser \(A\) dans une base orthonormale \((e_1,e_2)\) de \(\mathbf{R}^2\) pour le produit scalaire usuel.

      Déterminer une matrice \(P\) de \({\cal M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}={}^tP\) et \(^tPAP\) soit diagonale.

   2. Pour tout \((x,y)\) de \(\mathbf{R}^2\) on pose \(f(x,y)= \left(\begin{array}{cc}x&y\end{array}\right)\times A\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\).

      Montrer que l’application \((x,y)\mapsto \displaystyle{f(x,y)\over x^2+y^2}\) admet un minimum et un maximum sur \(E=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), extremums que l’on déterminera (on pourra travailler dans la base \((e_1,e_2)\)).

   3. En déduire les \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbf{R}^2\) tels que \(\alpha^2+\beta^2=1\) qui donnent une série statistique \(\alpha\,Z+\beta\,T\) de variance maximale ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale. Déterminer les extremums.

   4. Si l’on appelle \(u_1=(\alpha_1,\beta_1)\) un couple qui donne une série statistique de variance minimale, déterminer une équation de la droite passant par le point moyen de la série et dirigée par ce vecteur.

      Montrer que cette droite est celle qui réalise le minimum de la somme des carrés des distances des points \(M_i\) à une droite \(\Delta\) passant par le point moyen \(\Omega(\overline Z,\overline T)\), d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\) dans le plan \(\mathbf{R}^2\) muni de sa structure euclidienne canonique (on pourra utiliser la formule \(d(M_i,\Delta)=\displaystyle{|\alpha\,z_i+\beta\,t_i+c|\over\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\) qui donne la distance d’un point \(M_i\) à la droite \(\Delta\) d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\)).

      Qu’en est-il si l’on n’impose plus à la droite de passer par \(\Omega\) ?

2. Déterminer les \((\alpha,\beta)\) tels que \(\alpha\geqslant 0\), \(\beta\geqslant 0\) et \(\alpha+\beta=1\) pour lesquels la série statistique \(\alpha Z+\beta T\) admet une variance maximale que l’on déterminera ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale.

[probas/ex0169] hec 1995 On considère un entier naturel \(n\) non nul, un réel \(p\) de \(\left]0,1\right[\) ; \(X\) est une variable aléatoire avec \(X\hookrightarrow\mathscr{B}(n,p)\).

Les valeurs prises par \(X\) sont affichées par un compteur défaillant ; lorsqu’il doit afficher 0, il affiche en fait au hasard un nombre compris entre 1 et \(n\) ; sinon il affiche le bon résultat.

Soit \(Y\) la variable aléatoire correspondant au numéro affiché par le compteur. Donner la loi de \(Y\) et \(E(Y)\).