Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1599] ens PSI 2017 Un questionnaire comporte 20 questions. Pour chaque question, \(k\) réponses sont possibles dont une seule est bonne. Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Un candidat répond au hasard à toutes les questions.

1. Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points obtenus par le candidat à ce questionnaire. Déterminer la loi de \(X\).

2. À chaque question, si le candidat s’est trompé, il a droit à une seconde chance et peut choisir une autre réponse parmi celles qui restent. Il gagne alors \(1/2\) point en cas de bonne réponse. Soit \(Y\) le nombre de \(1/2\) points obtenus, déterminer la loi de \(Y\).

3. Déterminer \(k\) pour que le candidat obtienne en moyenne une note de 5 sur 20.

[planches/ex3306] polytechnique MP 2018 Sur un même espace probabilisé, on considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), dont \(X\) à valeurs dans \(\mathbf{R}\) et d’espérance finie, et \(Y\) à valeurs dans un ensemble \(A\).

1. Montrer qu’il existe une fonction \(h:A\rightarrow\mathbf{R}\) telle que, pour toute fonction bornée \(g:A\rightarrow Y\), on ait \(\mathbf{E}(Xg(Y))=\mathbf{E}(h(Y)g(Y))\). Montrer l’unicité d’une telle fonction sous réserve que \(\mathbf{P}(Y=y)>0\) pour tout \(y\in A\). On fait cette hypothèse dans la suite de l’énoncé.

2. Montrer que, pour tout \(y\in A\), le réel \(h(y)\) est l’espérance de la variable aléatoire \(X\) pour la loi de probabilité conditionnelle \(\mathbf{P}(Y=y)\).

3. On se donne ici deux variables aléatoires indépendantes \(X_1\) et \(X_2\) suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\). On se donne \(f:\mathbf{N}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(X=f(X_1)\) soit d’espérance finie. On pose \(Y=X_1+X_2\). Expliciter dans ce cas la variable aléatoire \(h(X)\) où \(h\) est précisée dans la première question.

[planches/ex4848] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs réelles. On dit que \(X\) est symétrique si \(X\) et \(-X\) ont même loi.

1. Soient \(Y\) et \(Y'\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi ne prenant qu’un nombre fini de valeurs. Montrer que \(Y-Y'\) est symétrique.

   Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs réelles ne prenant qu’un nombre fini de valeurs.

2. Montrer que \(F_X:t\longmapsto\mathbf{E}(e^{itX})\) définit une fonction sur \(\mathbf{R}\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(F_X\) pour que \(X\) soit symétrique.

3. On suppose \(X\) symétrique. Soit \(\varepsilon\) une variable indépendante de \(X\) telle que : \[\mathbf{P}(\varepsilon=1)=\mathbf{P}(\varepsilon=-1)=1/2.\] Montrer que \(\varepsilon X\) et \(X\) ont même loi.

[examen/ex1161] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024 Soient \(E=[\![ 1,n]\!]\) et \(p\in\left]0,1\right[\). Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathscr{P}(E)\) telle que \(\forall i\in E\), \(\mathbf{P}(i\in X)=p\) et, pour \(i\neq j\in E\), \((i\in X)\) et \((j\in X)\) sont indépendants.

Pour \(Y\) variable aléatoire de même loi que \(X\) et indépendante de \(X\), calculer \(\mathbf{E}(|X \Delta Y|)\).

[oraux/ex8489] mines MP 2016 Soient \(p\), \(q\) deux réels, \(X\), \(Y\) deu variables aléatoires entières et \({}\geqslant 0\) telles que : \[\forall(m,n)\in\mathbf{N}^2,\qquad\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{n+m}.\]

1. 1. À quelles conditions sur le couple \((p,q)\) la relation précédente définit-elle bien la loi conjointe de \((X,Y)\) ?

   2. Déterminer alors les lois marginales de \(X\) et de \(Y\), l’espérance de \(X+Y\).

   3. Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_X(k)=\mathbf{P}(X\leqslant k)\).

2. On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).

   1. Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_Z(k)=\mathbf{P}(Z\leqslant k)\). En déduire la loi de \(Z\) ainsi que son espérance.

   2. Déterminer l’espérance de \(|X-Y|\).

[planches/ex7292] centrale PC 2021 On dispose d’une pièce donnant Pile avec la probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir Pile. Si Pile apparait pour la première fois au \(N\)-ième lancer, on effectue une série de \(N\) lancers avec cette même pièce et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de cette deuxième série de lancers.

1. Déterminer la loi de \(N\).

2. Déterminer la loi du couple \((N,X)\).

3. Déterminer la loi de \(X\) et son espérance.

[planches/ex2161] mines MP 2017 Soient \(p\in[0,1]\) et \(q=1-p\). On définit \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires à valeurs entières telles que, pour tout \((m,n)\in\mathbf{N}^2\), on ait \(\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{m+n}\).

1. Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\). Calculer \(\mathbf{E}(X+Y)\).

2. Calculer \(\mathbf{P}(X\leqslant k)\) pour \(k\in\mathbf{N}\).

   On note \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).

3. Trouver la loi de \(Z\) et calculer son espérance.

4. Calculer \(\mathbf{E}(|X-Y|)\).

5. Déterminer la loi de \(T\).

6. Déterminer la loi de \((X,Z)\) et retrouver la loi de \(Z\).

7. Déterminer \(\mathbf{P}(X+Y=m)\) pour \(m\in\mathbf{N}\).

[oraux/ex6359] escp courts 2016 On utilise une pièce de monnaie qui donne pile avec la probabilité \(p \in\left]0,1\right[\).

On commence par lancer la pièce jusqu’à obtenir une première fois Pile et on note \(N\) le nombre de lancers nécessaires. Si le premier Pile a été obtenu au \(n\)-ième lancer, on lance ensuite cette même pièce \(n^2\) fois et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de ces \(n^2\) lancers.

1. Quelle est la loi suivie par \(N\) ? Donner l’espérance et la variance de \(N\).

2. Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant l’événement \((N=n)\).

3. En déduire l’existence et la valeur de l’espérance de \(X\).

[oraux/ex8353] mines PC 2015 Un QCM comporte 20 questions. Pour chacune des questions, il y a \(k\) réponses possibles. On obtient un point par bonne réponse. On répond au hasard, on note \(X\) le nombre de points obtenus. On nous rend le QCM dans lequel on peut modifier les réponses fausses ; on obtient un demi-point pour chaque nouvelle réponse juste obtenue (réponse au hasard parmi les \((k-1)\) restantes). Soit \(Y\) le nombre de points obtenus la deuxième fois.

1. Déterminer la loi de \(X\).

2. Déterminer l’espérance de \(Y\). Déterminer \(k\) pour que \(\mathbf{E}(Y)=5\).

[examen/ex1159] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024 On note \(E=[\![1,n]\!]\) et \(\Delta\) la différence symétrique. Soit \(p\in [0,1]\) et \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires i.i.d de \(\Omega\) dans \(\mathscr{P}(E)\) telles que, pour tout \(i\in E\), \(\mathbf{P}(i\in X)=p\).

1. Calculer \(\mathbf{E}(\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(X\Delta Y))\).

2. On note \(D(n)\) le cardinal maximal d’une partie \(\mathscr{A}\) de \(\mathscr{P}(E)\) telle que, pour toutes parties \(A\) et \(B\) distinctes de \(\mathscr{A}\), \(|A\Delta B|\geqslant n/3\). Calculer \(D(n)\).

[oraux/ex8315] polytechnique MP 2015 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé et à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On suppose \(Y\) d’espérance finie.

1. Montrer qu’il existe une fonction \(g:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(g(X)\) soit d’espérance finie et, pour toute fonction \(f:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) bornée, on ait \(\mathbf{E}(Yf(X))=\mathbf{E}(g(X)f(X))\).

2. Montrer que \(g\) est unique à un ensemble de probabilité nulle (pour la loi de \(X\)) près.

[oraux/ex8325] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(\Omega\) un univers fini muni d’une probabilité \(\mathbf{P}\). Si \(X\) est une variable aléatoire réelle, on dit que \(X\) est symétrique si \(X\) et \(-X\) suivent la même loi.

1. Soient \(Y\) et \(Y'\) deux variables indépendantes suivant la même loi. Montrer que \(Y-Y'\) est symétrique.

2. Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On pose \(f_X:t\mapsto\mathbf{E}(e^{itX})\). Montrer que \(f_X\) détermine entièrement la loi de \(X\). Si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), donner une condition nécessaire et suffisante sur \(f_X\) pour que \(X\) soit symétrique.

[probas/ex0019] Soient \(X\) et \(Y\) deux V.A.R. discrètes telles que : \[\left\{\begin{array}{l} E(X)=E(Y)=m\ (m\neq0),\\V(X)=\sigma_1^2,\ V(Y)=\sigma_2^2,\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(X,Y)=\mu,\ V(X-Y)\neq0.\end{array}\right.\] Soit \(Z=aX+bY\). Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(E(Z)=m\) et que \(V(Z)\) soit minimale.

[probas/ex1078] Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On en tire successivement deux échantillons aléatoires de taille 3 et 5 respectivement, ceci sans remise. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de boules blanches dans chacun de ces échantillons ; calculer \(E(X/Y=i)\) pour \(i=1\), 2, 3, 4.

[oraux/ex8341] mines PSI 2015

1. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles telles que \(X^2\) et \(Y^2\) admettent une espérance. Montrer que \(XY\) admet une espérance.

2. Soient \(a\in[0,1]\) et \(X\) une variable aléatoire positive admettant une espérance. Montrer l’inégalité \((1-a)\mathbf{E}(X)\leqslant\mathbf{E}(X.\mathbf1_{X\geqslant a\mathbf{E}(X)})\).

[concours/ex4955] escp B/L 2001 On considère une entreprise de \(400\) salariés. La moyenne et l’écart-type du salaire mensuel de tout le personnel sont respectivement \(\overline{x} = 10000\) F et \(\sigma (x) = 2000\) F. Le salaire le plus bas est \(6000\) F et le salaire le plus élevé est \(30000\) F.

À la suite d’une grève, des négociations salariales s’ouvrent. à l’issue de celles-ci, le salaire de chaque salarié sera majoré en appliquant la formule générale suivante : \(y_i = a x_i + b\), où :

• le nombre \(x_i\) représente le salaire du salarié \(i\) avant l’augmentation,

• le nombre \(y_i\) représente le salaire du salarié \(i\) après l’augmentation,

• les coefficients \(a\) et \(b\) sont à déterminer.

Trois propositions sont sur la table des négociations :

1. augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type.

2. augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion relative des salaires mesurée par le coefficient de variation \(C V =\displaystyle{\hbox{écart-type} \over {\rm moyenne}}\).

3. réduire de \(2 \%\) la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type tout en augmentant la masse salariale d’un montant tel qu’aucun salaire ne diminue.

1. Calculer la masse salariale et le coefficient de variation des salaires avant l’augmentation.

2. Pour chacune des trois propositions en présence :

   1. Calculer les paramètres \(a\) et \(b\) à utiliser. (Pour \({\rm P}_3\) on prendra la plus petite valeur de \(b\) vérifiant toutes les conditions).

   2. Calculer la moyenne du nouveau salaire mensuel.

3. Autour de la table de négociations, on trouve trois groupes : des représentants de la direction, des représentants des cadres et des représentants des salariés non cadres, chaque groupe ayant formulé une des trois propositions.

   1. Calculer, en pourcentage, l’augmentation de la masse salariale correspondant à la proposition \({\rm P}_3\).

   2. Donner l’allure de la représentation graphique, dans un même repère, du nouveau salaire \(y\) en fonction de l’ancien \(x\) pour chacune des propositions. On s’intéressera uniquement à la position relative de ces droites.

   3. Identifier, en utilisant les résultats précédents, de quel groupe émane chacune des propositions.

[concours/ex5183] escp S 2007 On dispose d’une pièce de monnaie donnant « pile » avec la probabilité \(p\) et « face » avec la probabilité \(q=1-p\) (avec \(p\in\left]0,1\right[\)).

On lance cette pièce, les lancers étant indépendants les uns des autres, et on note \(N\) le nombre aléatoire de lancers nécessaires à la première apparition de « pile » (on pose \(N=-1\) si « pile » n’apparaît jamais).

Quand « pile » apparaît au bout de \(n\) lancers, on effectue une série de \(n\) lancers avec cette même pièce et on note \(X\) le nombre de « pile » obtenus au cours de cette série.

1. Quelle est la loi de \(N\) ?

2. Déterminer la loi du couple \((N,X)\).

3. Calculer \(P(X=0)\) et \(P(X=1)\).

4. Pour tout entier naturel \(k\) non nul, exprimer \(P(X=k)\) sous forme d’une série.

5. Calculer la somme de cette série.

   On rappelle que si \(|x|<1\) alors \(\displaystyle \sum\limits\limits_{k=r}^{+\infty}{k\choose r}x^{k-r}=\displaystyle{1\over(1-x)^{r+1}}\)

6. Déterminer l’espérance de \(X\) par deux méthodes : une première fois par calcul direct, une deuxième en utilisant la formule de l’espérance totale. Pourquoi ce résultat est-il raisonnable ?

[planches/ex2857] escp courts S 2018 Soient \(n\) et \(m\) deux entiers tels que \(n\geqslant m\geqslant 1\), et \(p\in\left]0,1\right[\). On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\), indépendantes, telles que \(X\hookrightarrow\mathscr{B}(n,p)\) et \(Y\hookrightarrow\mathscr{B}(m,p)\).

On pose \(D=X-Y\). Donner la loi de \(D\) ; calculer son espérance et sa variance.

[oraux/ex6081] escp S 2014 On considère une succession (éventuellement infinie) de lancers d’une pièce. On suppose que la probabilité d’obtenir Pile lors d’un lancer est \(1-x\) et que la probabilité d’obtenir Face est \(x\). Les résultats des différents lancers sont supposés indépendants.

On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\).

Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(S_n\) le nombre de fois où l’on a obtenu Pile au cours des \(n\) premiers lancers et \(T_n\) le numéro du lancer où l’on obtient Pile pour la \(n\)-ième fois.

1. Préciser la loi de \(S_n\), son espérance et sa variance.

2. 1. Pour tout entier \(k\) et tout entier non nul \(n\), montrer que : \[P(T_n=n+k)={k+n-1\choose n-1}(1-x)^nx^k.\]

   2. Montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty P(T_n=n+k)=1\). Quelle est la signification de ce résultat ?

   3. Montrer que \(T_n\) admet une espérance et calculer \(E(T_n)\).

   4. Calculer de même \(E(T_n(T_n+1))\) ; en déduire la variance de \(T_n\).

3. Soient \(a\) un réel strictement positif et \(\lambda\) un réel strictement supérieur à \(1\). Un joueur joue de la manière suivante : lors du \(k\)-ième lancer il joue la somme \(a^{k-1}\) euros.

   • Si Pile sort, il reçoit la somme de \(\lambda a^{k-1}\) euros et il perd sa mise.

   • Si Face sort, il perd sa mise.

   Puis on passe au lancer suivant…

   On note \(G_n\) la somme des gains (positifs ou négatifs) du joueur après son \(n\)-ième succès. On suppose \(a>1\).

   1. Exprimer \(G_1\) en fonction de \(a^{T_1}\).

   2. Après avoir justifié son existence, calculer \(E(G_1)\).

   3. Exprimer \(G_2\) en fonction de \(a^{T_1}\) et \(a^{T_2}\).

[probas/ex1467] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).