Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex0019] Soient \(X\) et \(Y\) deux V.A.R. discrètes telles que : \[\left\{\begin{array}{l} E(X)=E(Y)=m\ (m\neq0),\\V(X)=\sigma_1^2,\ V(Y)=\sigma_2^2,\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(X,Y)=\mu,\ V(X-Y)\neq0.\end{array}\right.\] Soit \(Z=aX+bY\). Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(E(Z)=m\) et que \(V(Z)\) soit minimale.

[planches/ex8266] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur \([[1,n]]\). Soit \(m\in[[1,n]]\). Soit \(Z\) telle que \(Z=X\) si \(Y\leqslant m\), et \(Z=Y\) sinon.

1. Déterminer la loi de \(Z\).

2. Calculer les espérances de \(X\), \(Y\) et \(Z\).

3. Pour quels entiers \(m\in[[1,n]]\) l’espérance \(\mathbf{E}(Z)\) est-elle maximale ?

[oraux/ex8395] ensam PSI 2015 Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), et pour \(t\in\mathbf{R}\), \(H_Z(t)=\mathbf{P}(Z\geqslant t)\).

1. Montrer que \(H_Z(k-1)-H_Z(k)=\mathbf{P}(Z=k-1)\).

2. Tracer \(H_Z\) pour \(\mathbf{P}(Z=0)=1/6\), \(\mathbf{P}(Z=1)=1/3\) et \(\mathbf{P}(Z=3)=1/2\).

3. Si \(q\) est la valeur maximale de \(Z\), montrer par récurrence décroissante que : \[\sum\limits_{k=n}^qH_Z(k)=\sum\limits_{j=n}^qj\mathbf{P}(X=j)-(n-1)H_Z(n).\]

4. Si \(X\) et \(Y\) sont à valeurs dans \(\mathbf{N}\), montrer que : \(H_X\geqslant H_Y\Longrightarrow\mathbf{E}(X)\geqslant\mathbf{E}(Y)\).

[probas/ex1081] Un prisonnier est enfermé dans une cellule contenant 3 portes. La première ouvre un tunnel qui revient dans la cellule après une marche de 2 jours. La seconde porte donne sur un tunnel qui revient aussi à la cellule au bout d’un voyage de 4 jours. La troisième porte conduit à la liberté au bout d’un jour de marche. On suppose que le prisonnier choisit à chaque tentative les portes 1, 2, et 3 avec des probabilités \(0.5\), \(0.3\) et \(0.2\). Quelle est l’espérance du nombre de jours qu’il faudra au prisonnier pour retrouver sa liberté ?

[planches/ex5507] centrale PC 2019 On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Après chaque lancer, on continue le jeu ou on s’arrête avec probabilité \(1/2\). Soit \(N\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués, \(X\) (resp. \(Y\)) la variable aléatoire égale au nombre de pile (resp. face).

1. Déterminer la loi de \(N\) ainsi que son espérance.

2. Montrer que \(X\) est d’espérance finie et calculer son espérance.

[probas/ex2320] Vrai ou faux ?

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires admettant une variance.

Alors \(\mathbf{V}(X-Y)=\mathbf{V}(X)-\mathbf{V}(Y)-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(X,Y)\).

[oraux/ex6083] escp S 2014 On considère une variable aléatoire réelle discrète \(X\) définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) telle que \[X(\Omega)=\mathbf{N} \hbox{ et }\forall k \in \mathbf{N},\ P(X=k)={a^k\over(1+a)^{k+1}},\] où \(a>0\) est fixé.

1. Vérifier que l’on a bien défini une loi de probabilité.

   Dans toute la suite, on désigne par \(Y\) une variable aléatoire indépendante de \(X\), définie sur le même espace probabilisé, et suivant la même loi que \(X\).

2. On considère la variable aléatoire \(Z=X+Y\).

   1. Déterminer la loi de \(Z\).

   2. Trouver l’espérance de la variable aléatoire \(S=\displaystyle{1\over1+Z}\).

   3. Déterminer \(E\left(\displaystyle{X\over1+Z}\right)\).

3. On considère maintenant la variable aléatoire \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits(X,Y)\), définie par :

   pour tout \(\omega \in \Omega\), \(T(\omega) =\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X(\omega), Y(\omega))\).

   1. Déterminer \(P(X\leqslant n)\) pour tout \(n \in \mathbf{N}\).

   2. Prouver que la loi de \(T\) est donnée par \(T(\Omega)=\mathbf{N}\) et : \[\forall m\in\mathbf{N},\ P(T=m)={1+2a\over(1+a)^2}\left({a\over1+a}\right)^{\!2m}.\]

[probas/ex1077] On lance plusieurs fois un dé équilibré. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de jets nécessaires pour obtenir un 6 et un 5, respectivement. Trouver :

1. \(E(X)\) ;

2. \(E(X/Y=1)\) ;

3. \(E(X/Y=5)\).

[probas/ex1099] On lance deux dés. Soit \(X\) la valeur du premier dé et \(Y\) la somme des deux valeurs. Calculer la fonction génératrice des moments conjoints de \(X\) et \(Y\).

[probas/ex1059] Une bouteille contient initialement \(m\) grandes pilules et \(n\) petites pilules. Chaque jour un patient choisit au hasard une des pilules. S’il choisit une petite pilule, il l’avale. S’il en choisit une grande, il la coupe en deux, il en remet une part (considérée maintenant comme une petite pilule) dans la bouteille et avale l’autre.

1. Soit \(X\) le nombre de petites pilules dans la bouteille après que la dernière grande pilule a été choisie et que sa petite moitié a été replacée. Trouver \(E(X)\).

   Indication : on pourra définir \(n+m\) variables indicatrices, une pour chaque petite pilule présente initialement et une pour chacune des \(m\) petites pilules crées en coupant une grande.

2. Soit \(Y\) le jour où la dernière grande pilule est choisie. Trouver \(E(Y)\).

   Indication : on pourra chercher une relation entre \(X\) et \(Y\).