Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8315] polytechnique MP 2015 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé et à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On suppose \(Y\) d’espérance finie.

1. Montrer qu’il existe une fonction \(g:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(g(X)\) soit d’espérance finie et, pour toute fonction \(f:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) bornée, on ait \(\mathbf{E}(Yf(X))=\mathbf{E}(g(X)f(X))\).

2. Montrer que \(g\) est unique à un ensemble de probabilité nulle (pour la loi de \(X\)) près.

[examen/ex1159] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024 On note \(E=[\![1,n]\!]\) et \(\Delta\) la différence symétrique. Soit \(p\in [0,1]\) et \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires i.i.d de \(\Omega\) dans \(\mathscr{P}(E)\) telles que, pour tout \(i\in E\), \(\mathbf{P}(i\in X)=p\).

1. Calculer \(\mathbf{E}(\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(X\Delta Y))\).

2. On note \(D(n)\) le cardinal maximal d’une partie \(\mathscr{A}\) de \(\mathscr{P}(E)\) telle que, pour toutes parties \(A\) et \(B\) distinctes de \(\mathscr{A}\), \(|A\Delta B|\geqslant n/3\). Calculer \(D(n)\).

[concours/ex5134] escp B/L 1999 Une urne contient trois jetons numérotés 1, 2, 3 indiscernables au toucher. On effectue une suite de tirages d’un jeton de cette urne, en replaçant à chaque fois le jeton obtenu, avant le tirage suivant.

1. On note \(Y\) le nombre aléatoire de tirages juste nécessaire pour obtenir, pour la première fois, deux numéros différents. Déterminer la loi de \(Y\) et son espérance.

2. On note \(Z\) le nombre aléatoire de tirages juste nécessaire pour obtenir, pour la première fois, les trois numéros.

   1. Déterminer la loi du couple \((Z,Y)\).

   2. Déterminer la loi de \(Z\) et calculer son espérance.

[probas/ex0241] Une urne contient \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\). On effectue \(N\) tirages avec remise et on note \(Z_n\) le nombre de numéros non encore sortis à l’issue du \(n\)-ième tirage.

1. Déterminer la loi de \(Z_1\).

2. Calculer \(E(Z_n)\).

3. Déterminer la probabilité d’obtenir au \(n\)-ième tirage un numéro qui n’est pas encore sorti.

[probas/ex1099] On lance deux dés. Soit \(X\) la valeur du premier dé et \(Y\) la somme des deux valeurs. Calculer la fonction génératrice des moments conjoints de \(X\) et \(Y\).

[planches/ex9392] ens PC 2023 Soient \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\{1,2,3\}\) telles que \(Y\) suive la loi uniforme sur \(\{1,2,3\}\) et \(\mathbf{P}(X=1)=\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\mathbf{P}(X=2)=\mathbf{P}(X=3)=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Quelle est la valeur minimale de \(\mathbf{E}((X-Y)^2)\) ?

[probas/ex1077] On lance plusieurs fois un dé équilibré. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de jets nécessaires pour obtenir un 6 et un 5, respectivement. Trouver :

1. \(E(X)\) ;

2. \(E(X/Y=1)\) ;

3. \(E(X/Y=5)\).

[concours/ex4721] escp S 2003

1. Soit \(n\in \mathbf{N}^*\) et \(x\) un réel. Calculer \(\sum\limits\limits_{k=0}^n k \displaystyle{n\choose k}x^k\) en fonction de \(n\) et \(x\).

2. Un boulanger possède un ensemble de pochettes surprise. Lorsqu’on en achète une on peut :

   • soit gagner une montre avec une probabilité de \(m\),

   • soit gagner un euro avec une probabilité de \(e\),

   • soit ne rien gagner.

   Un client achète \(n\) pochettes. On désigne par \(M\) la variable aléatoire égale au nombre de montres gagnées et \(E\) la variable aléatoire égale au nombre d’euros gagnés.

   1. Déterminer la loi de \(M\).

   2. Déterminer la loi conjointe du couple \((M,E)\).

3. On suppose que \(k\) pochettes ont rapporté quelque chose.

   Soit \(T_k\) la variable aléatoire égale à la proportion de pochettes ayant rapporté une montre par rapport au nombre de pochettes ayant rapporté quelque chose.

   Déterminer la loi de \(T_k\).

   Calculer l’espérance \(E(T_k)\) en fonction de \(m\) et \(e\).

[concours/ex4638] escp S 2004

1. 1. Compléter les lignes de programme suivantes pour en faire un programme complet :

      randomize;
N:=random(m)+1;X:=0;
For i:=1 to N Do X:=X+random(2);
Writeln(N,’ ’,X);

      (on rappelle que lorsque \(a\) est un integer, random(a) renvoie une valeur integer au hasard comprise entre 0 et \(a-1\), et que la procédure randomize permet d’initialiser la fonction random.)

   2. On suppose que la première valeur affichée est \(4\). Quelles sont les valeurs possibles pour la seconde valeur affichée ?

2. On suppose que le programme précédent simule une expérience aléatoire. Quelle est alors la loi suivie par la variable aléatoire simulée par \(N\), son espérance, sa variance ?

3. Préciser \(X(\Omega)\) et calculer, pour tout couple \((i,k)\), \(P(X=i/N=k)\). En déduire la loi de \(X\).

4. Déterminer l’espérance de \(X\).

[concours/ex4924] escp S 2001

1. Soient deux entiers naturels \(n\) et \(r\) avec \(0\leqslant r\leqslant n\).

   On définit la fonction \(F_{r,n}\) sur \(\mathbf{R}\) par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad F_{r,n}(x)=\sum\limits\limits_{k=r}^n{k\choose r} x^k.\]

   1. Montrer que pour tout \(x\) réel, on a \((1-x)F_{r,n}(x)\ =\ xF_{r-1,n-1}(x) - \displaystyle{n\choose r} x^{n+1}\).

   2. Soit \(x\in\left]0,1\right[\) et \(r\in \mathbf{N}\) fixés. Donner un équivalent simple de \(\displaystyle{n\choose r}x^{n+1}\) quand \(n\) tend vers l’infini.

   3. Montrer que pour tout \(x\) tel que \(0<x<1\) et \(r\in\mathbf{N}\) fixés, \(F_{r,n}(x)\) admet une limite lorsque \(n\) tend vers l’infini et déterminer cette limite.

   On dispose de deux pièces de monnaie. La première pièce donne « Pile » avec la probabilité \(p\) et la seconde avec la probabilité \(q=1-p\). (\(p\in\left]0,1\right[\)).

   • on lance la première pièce jusqu’à obtenir pour la première fois « Pile ». Soit \(N\) le nombre de lancers effectués.

   • On lance alors \(N\) fois la seconde pièce et on note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de « Pile » obtenus durant ces \(N\) tirages.

2. 1. Déterminer la loi de \(X\).

   2. Calculer son espérance. Commenter les cas où \(p=q=1/2\) et où \(p\) est de la forme \(1/r\).