Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex0334] On dispose de 5 urnes numérotées de 1 à 5.

L’urne numéro \(k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit une urne au hasard et on tire une boule de cette urne. On définit les deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) par : \(X\) est le numéro de l’urne choisie, \(Y\) est le numéro de la boule tirée.

1. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\) ; en déduire les lois de probabilité de \(X\) et de \(Y\).

2. Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).

[planches/ex2585] centrale PSI 2017 Soit \(p\in\left]0,1\right[\). On se donne une pièce qui tombe sur pile avec la probabilité \(p\). On la lance jusqu’à obtenir deux fois pile et on note \(X\) le nombre de faces obtenues.

1. Donner la loi de \(X\).

2. Montrer l’existence et donner la valeur de l’espérance de \(X\).

3. Si \(X=n\), on place \(n+1\) boules numérotées de 0 à \(n\) dans une urne. On pioche une boule au hasard et \(Y\) désigne le numéro de la boule piochée. Donner la loi de \(Y\) et son espérance.

[oraux/ex8547] centrale PSI 2016 (avec Python)

Deux amis se sont donné rendz-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires suivant la loi uniforme sur \([[0,59]]\).

1. À quoi correspond la variable \(T=|X-Y|\) ?

2. Donner la loi de \(T\).

3. Écrire une fonction rdv(n) qui renvoie les résultats de \(n\) simulations de \(T\).

4. 1. Calculer l’espérance exacte de \(T\).

   2. Donner une approximation de l’espérance avec Python. Commenter l’écart.

5. On pose \(n=10^5\). Écrire un programme qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide du programme rdv(n). Commenter les écarts.

[planches/ex3594] mines MP 2018

1. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre \(p\in\left]0,1\right[\). Calculer \(\mathbf{E}(1/X)\).

2. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\). Calculer \(\displaystyle\mathbf{E}\left({1\over1+X}\right)\).

3. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois géométriques de paramètres \(p\) et \(q\). Déterminer \(\mathbf{E}(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\})\).

[oraux/ex8523] mines PC 2016 Soient \(X_n\) et \(Y_n\) deux variables aléatoires suivant des lois uniformes sur \([[1,n]]\) et indépendantes. On pose \(Z_n=|X_n-Y_n|\) et \(T_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X_n,Y_n)\). Calculer \(\mathbf{E}(Z_n)\) et \(\mathbf{E}(T_n)\). Déterminer des équivalents de \(\mathbf{E}(Z_n)\) et \(\mathbf{E}(T_n)\) lorsque \(n\rightarrow+\infty\).

[probas/ex0007] On jette une pièce de monnaie jusqu’à ce qu’on obtienne pile pour la deuxième fois. On suppose qu’à chaque lancer de la pièce, la probabilité d’obtenir pile est \(p\), \(p\in\left]0,1\right[\).

On note \(X\) le nombre de faces obtenues avant d’obtenir pile pour la deuxième fois.

Si \(X=n\), on place \(n+1\) boules numérotées de 0 à \(n\) dans une urne et on tire au hasard l’une de ces boules. On note alors \(Y\) le numéro de la boule tirée.

1. Quelle est la loi de \(X\) ? \(X\) admet-elle une espérance ? Si oui la calculer.

2. \(Y\) admet-elle une espérance ? La calculer.

[planches/ex7834] polytechnique PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(U=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) et \(V=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).

1. Trouver les lois de \(U\) et \(V\).

2. Trouver la loi de \((U,V)\).

3. Trouver la loi de \(U+V\) et son espérance.

[planches/ex6847] mines MP 2021 Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). Calculer les espérances de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X_1,X_2)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X_1,X_2)\).

[oraux/ex6078] escp S 2014 Toutes les variables aléatoires de cet exercice sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\).

Soit \(N\in\mathbf{N}^*\).

Le programme d’un examen est constitué de \(N\) questions dont \(n\) (différentes) sont tirées au hasard pour constituer l’épreuve. Chacune de ces \(n\) questions fait l’objet d’un questionnaire à choix multiples (QCM) ; chaque question comporte 4 réponses dont une seule est juste ; donner une réponse juste rapporte \(1\) point et une réponse fausse rapporte \(0\) point.

Un candidat donné connaît une proportion \(p\) des réponses aux questions du programme ; on note \(X\) le nombre de questions de l’examen dont le candidat connaît la réponse et auxquelles il répondra donc correctement ; pour les autres questions, le candidat « tentera sa chance » en donnant une réponse au hasard à la question posée. On note \(Y\) la note de ce candidat.

1. 1. Déterminer la loi de \(X\) et donner son espérance.

   2. Pour \(n\) et \(p\) fixés, par quelle loi peut-on approcher celle de \(X\) lorsque \(N\) tend vers l’infini ?

      Donner la variance de cette loi approchée. Dans la suite, on utilisera cette approximation pour évaluer \(V(X)\).

2. Pour tout \(k\in[[ 0,n]]\), déterminer la loi conditionnelle de \(Y-X\) sachant que \((X=k)\) est réalisé, préciser son espérance \(E(Y-X|X=k)\) et sa variance \(V(Y-X|X=k)\).

3. Déterminer l’espérance de \(Y\).

4. 1. Pour tout \(k\in [[0,n ]]\), montrer que :

      \(E((Y-E(Y))^2|X=k)=E((Y-E(Y|X=k))^2|X=k)+(E(Y|X=k)-E(Y))^2\).

   2. En déduire que la variance de \(Y\) vaut : \(V(Y)=\displaystyle{n(1-p)\over16}(3+9p)\).

[planches/ex8261] mines PSI 2022 Soient \(X\), \(Y\) des variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). On pose \(M=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).

1. Justifier que \(M\) est une variable aléatoire.

2. Déterminer la loi de \(M\).

3. Déterminer l’espérance et la variance de \(M\) en utilisant \(m=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).