[planches/ex4225] escp S 2018
[planches/ex4225]
On rappelle les résultats suivants :
Soit \(I\) un ensemble dénombrable infini indexé par \(\mathbf{N}\) sous la forme \(I=\{\phi(n),\ n\in\mathbf{N}\}\), où \(\phi\) est une bijection de \(\mathbf{N}\) dans \(I\). Si la série \(\displaystyle\sum\limits u_{\phi(n)}\) converge absolument, alors sa somme est indépendante de l’indexation \(\phi\), et pourra également être notée \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\). On dit alors que la série \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\) converge absolument.
Dans ce cas, si \(\displaystyle I=\bigsqcup_{j\in J}I_j\) (union disjointe) avec \(J\) un ensemble dénombrable et \(I_j\) des ensembles dénombrables pour tout \(j\), alors pour tout \(j\), \(\displaystyle\sum\limits_{k\in I_j}u_k\) converge absolument, et \[\sum\limits_{i\in I}u_i=\sum\limits_{j\in J}\left[\sum\limits_{k\in I_j}u_k\right].\]
Si \(I\) et \(J\) sont des ensembles dénombrables et si \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\) et \(\displaystyle\sum\limits_{j\in J}v_j\) sont absolument convergentes, alors \(\displaystyle\sum\limits_{(i,j)\in I\times J}\left(\vphantom{|_|}u_i\,v_j\right)\) aussi, et \[\left(\sum\limits_{i\in I}u_i\right)\left(\sum\limits_{j\in J}v_j\right)=\sum\limits_{(i,j)\in I\times J}\left(\vphantom{|_|}u_i\,v_j\right)\]
On prendra soin de justifier clairement, à l’aide de ces résultats, les calculs de sommes de séries qu’on sera amené à faire ci-dessous.
Soit \(p\) et \(q\) deux réels de l’intervalle \(\left]0,1\right[\).
Vérifier que : \(\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2\), \(\mathbf{P}[(i,j)]=p\,q\,(1-p)^i\,(1-q)^j\) définit bien une probabilité \(\mathbf{P}\) sur \(\mathbf{N}^2\).
Déterminer les lois des variables aléatoires discrètes \(X\) et \(Y\) définies sur \(\left(\vphantom{|_|}\smash{\mathbf{N}^2,\mathscr{P}(\mathbf{N}^2),\mathbf{P}}\right)\) par \[\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2,\quad X(i,j)=i\quad\hbox{et}\quad Y(i,j)=j\] et les relier à des lois connues.
Calculer \(\mathbf{P}(X=Y)\) et \(\mathbf{P}(X>Y)\).
Soit \(Z\) la variable aléatoire discrète définie par : \[\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2,\quad Z(i,j)=\cases{\phantom{-}1&si $i$ et $j$ sont pairs,\cr-1&si $i$ et $j$ sont impairs,\cr\phantom{-}0&si $i$ et $j$ sont de parités différentes.}\] Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.
Soit \(D\) l’ensemble défini par \(D=\left\{\vphantom{|_|}(i,i),\ i\in\mathbf{N}\right\}\). Justifier que la série \(\displaystyle\sum\limits_{(i,i)\in D}Z(i,i)\,\mathbf{P}(i,i)\) est absolument convergente et calculer sa somme.
[concours/ex9106] hec E 2010 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\), qui suit la loi binomiale \(\mathscr{B}(n,p)\), avec \(n\geqslant 2\) et \(0<p<1\).
[concours/ex9106]
On définit sur \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\) une variable aléatoire \(Y\) de la façon suivante :
pour tout \(k\) de \([[1,n]]\), la réalisation de l’événement \([X=k]\) entraîne celle de l’événement \([Y=k]\) ;
la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X=0]\) est la loi uniforme sur \([[1,n]]\).
Question de cours : Le modèle binomial.
Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).
Calculer l’espérance \(\mathbf{E}(Y)\) de \(Y\).
Déterminer la loi de probabilité conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).
Calculer l’espérance, notée \(\mathbf{E}(Y/X\neq0)\), de la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).
[planches/ex6857] mines MP 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p\) et \(q\) dans \(\left]0,1\right[\). On pose \(Z_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-n(X+Y))\). Justifier que \(Z_n\) admet une variance. Trouver un équivalent de \(\mathbf{V}(Z_n)\).
[planches/ex6857]
[planches/ex8840] centrale PC 2022 Deux joueurs jouent à tirer l’un après l’autre dans leur propre urne des boules avec remises. Dans l’urne du joueur 1, il y a une proportion \(p_1\) de boules rouges. Dans l’urne du joueur 2, il a une proportion \(p_2\) de boules rouges. La partie se joue en plusieurs manches : à la première manche, le joueur 1 tire une boule dans son urne et la remet, à la deuxième manche, le joueur 2 tire une boule dans son urne et la remet et ainsi de suite… Le jeu s’arrête lorsqu’un joueur a tiré une boule rouge.
[planches/ex8840]
Montrer que le jeu s’arrête presque sûrement.
Proposer des proportions \(p_1\) et \(p_2\) de sorte que les joueurs aient autant de chance de gagner chacun.
Donner l’espérance du nombre de manches jouées.
[examen/ex0901] escp courts S 2021 Soit \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur \([[1,n]]\), soit \(g\) une bijection de \([[1,n]]\) sur lui-même.
[examen/ex0901]
On pose \(T=g(X)\) et \(Z=\mathbf1_{[Y\leqslant g(X)]}\).
Quelle est la loi de \(T\) ? Montrer que \(n\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(T)\).
Que dire de leurs variances ?
[planches/ex4250] escp B/L 2018 Toutes les variables aléatoires de cet exercice sont définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\).
[planches/ex4250]
Une urne contient exclusivement des boules rouges et noires indiscernables au toucher.
La proportion de boules rouges est \(p\in\left]0,1\right[\). On effectue des tirages successifs d’une boule avec remise.
On commence par effectuer des tirages de boules jusqu’à obtention d’une boule rouge ; on note \(N\) le nombre de tirages qui ont été nécessaires pour obtenir cette première boule rouge.
On effectue ensuite \(N\) tirages successifs et on s’intéresse à \(X\) qui représente le nombre de boules rouges obtenues lors de ces \(N\) tirages.
Quelle est la loi de de la variable aléatoire \(N\) ?
Pour un entier \(n\geqslant 1\), quelle est la loi conditionnelle de \(X\) sachant \([N=n]\) ?
Déterminer la loi du couple \((N,X)\).
Déterminer la loi de \(X\). On pourra utiliser sans démonstration l’égalité : \[(*)\quad\forall k\in\mathbf{N},\quad\forall x\in\left]-1,1\right[,\quad{1\over(1-x)^{k+1}}=\sum\limits_{m=0}^{+ \infty}{m+k\choose k}x^m.\]
Soit un réel \(\lambda\in\left]0,1\right[\). On considère deux variables aléatoires \(U\) et \(V\) indépendantes, telles que \(U\) suit une loi de Bernouilli de paramètre \(\lambda\) et \(V\) suit une loi géométrique de paramètre \(\lambda\).
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(UV\).
En déduire que \(X\) a même loi qu’un produit de deux variables aléatoires indépendantes, l’une suivant une loi de Bernoulli et l’autre une loi géométrique.
Exprimer \(\mathbf{E}(X)\) et \(\mathbf{V}(X)\) en fonction de \(\lambda\).
[concours/ex4643] escp S 2004
[concours/ex4643]
Soient \(X\) une variable aléatoire finie ou discrète qui possède une espérance et \(Y\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\left\{ 1,\ldots,p\right\}\). On suppose que \(P\left( Y=i\right) >0\) pour tout \(i\in \left\{ 1,\ldots ,p\right\}\).
Soit \(i\in \left\{ 1,\ldots ,p\right\}\). Montrer que la loi conditionnelle de \(X\), conditionnée par l’événement \((Y=i)\) admet une espérance qu’on notera \(E(X/Y=i)\).
Prouver la formule suivante : \(E(X)=\sum\limits\limits_{i=1}^{p}E(X/ Y=i)P\left( Y=i\right)\).
Soit \(n\) un entier non nul. Montrer que l’on a : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n}k^{2}=\displaystyle{n(n+1)(2n+1)\over6}\).
Un technicien assure la maintenance de \(n\) machines-outils de même type qui sont alignées. Deux machines consécutives sont distantes d’une longueur \(\ell\). De temps en temps les machines outils s’arrêtent avec la même probabilité et indépendamment les unes des autres et nécessitent un réglage. Après le réglage d’une machine-outil le technicien reste devant celle-ci, jusqu’à ce qu’une autre machine-outil s’arrête (si c’est la même machine qui retombe en panne, il reste à sa place). La variable aléatoire \(X\) est la distance que parcourt le technicien entre deux réglages. On note \(Y\) la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de la machine devant laquelle se trouve le technicien.
Calculer l’espérance de \(X\).
Déterminer la variance de \(X\).
[probas/ex2091] Deux cartes sont tirées au hasard d’un jeu en contenant 5, numérotées 1, 1, 2, 2 et 3. Soit \(X\) la somme et \(Y\) le maximum des deux nombres obtenus. Calculer la loi, l’espérance, la variance et l’écart-type de \(X\), \(Y\), \(Z=X+Y\), \(W=XY\).
[probas/ex2091]
[probas/ex1467] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).
[probas/ex1467]
[probas/ex1470] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer la variance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).
[probas/ex1470]
La plupart des textes affichés provoquent l'apparition de bulles d'aide au passage de la souris