Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex1057] Combien de fois vous attendez-vous à lancer un dé équilibré avant que chacune des six faces soit apparue au moins une fois ?

[oraux/ex8349] mines PC 2015 On considère une urne ayant une proportion \(p\in\left]0,1\right[\) de boules noires et \(q=1-p\) de boules blanches. On effectue des tirages avec remise. On note \(N_k\) l’événement « tirer une boule noire au \(k\)-ième tirage » et \(B_k\) l’événement « tirer une boule blanche au \(k\)-ième tirage ». On note \(X\) la longueur de la première série de tirages de boules de même couleur et \(Y\) la longueur de la deuxième série. Par exemple, \((X=1)\cap(Y=2)\) est réalisé par l’événement \(N_1\cap B_2\cap B_3\cap N_4\) ou \(B_1\cap N_2\cap N_3\cap B_4\).

1. Donner la loi conjointe du couple \((X,Y)\).

2. Trouver la loi de \(X\), l’espérance de \(X\) et montrer que \(\mathbf{E}(X)\geqslant 2\).

3. Trouver la loi et l’espérance de \(Y\).

[planches/ex3699] mines PSI 2018 Une urne contient une proportion \(p\) de boules blanches et \(1-p\) de boules noires. On effectue des tirages avec remise. On note \(X\) le nombre de boules de même couleur tirées successivement au départ, et \(Y\) le nombre de boules de même couleur tirées successivement lors de la seconde série. Par exemple, si on obtient \(B\), \(B\), \(B\), \(N\), \(N\), \(B\), … alors \(X=3\) et \(Y=2\).

1. Donner la loi conjointe de \((X,Y)\).

2. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X\).

3. Même question avec \(Y\).

[planches/ex4022] centrale PC 2018 Une urne contient une proportion \(p\in\left]0,1\right[\) de boules blanches, les autres boules étant noires. On effectue des tirages avec remise. Soient \(X\) la variable aléatoire donnant la longueur de la première série de boules d’une même couleur, \(Y\) la variable aléatoire donnant la longueur de la deuxième série de boules de la même couleur.

1. Donner la loi de \((X,Y)\).

2. Déterminer la loi de \(X\), son espérance et sa variance.

3. Déterminer la loi de \(Y\), son espérance et sa variance.

4. Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?

5. Déterminer la loi de \(X+Y\).

[examen/ex0791] imt PSI 2023 On considère une urne comportant une proportion \(p\) de boules blanches et \(q=1-p\) de boules noires. On effectue des tirages dans cette urne avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de boules successives de la même couleur lors d’une première série de lancers et \(Y\) la variable aléatoire qui compte le nombre de boules successives de la même couleur lors de la deuxième série de lancers. Si l’on obtient indéfiniment la même couleur, on notera \(X=+\infty\).

Exemple : BBBNNNNNB donne \(X=3\) et \(Y=5\).

1. Énoncer le théorème de continuité croissante.

   En déduire que les événements \((X=+\infty)\) et \((Y=0)\) sont négligeables.

2. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).

[planches/ex5015] mines MP 2019 Soient \(p\in\left]0,1\right[\), \((X_k)_{k\geqslant 1}\) une suite i.i.d. de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre \(p\). On pose \(L_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{k\in\mathbf{N}^*\ ;\ X_1=X_2=\cdots=X_k\}\) si cet ensemble est fini, \(+\infty\) sinon.

1. Montrer que \(L_1\) est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.

2. Si \(L_1<+\infty\), soit \(L_2=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\ell\in\mathbf{N}^*\ ;\ X_{L_1+1}=X_{L_1+2}=\cdots=X_{L_1+\ell}\}\) si cet ensemble est fini, \(+\infty\) sinon. Montrer que \(L_2\) est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.

[planches/ex2791] ensam PSI 2017

1. Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\).

   1. Pour \(k\in\mathbf{N}\), trouver une relation entre \(\mathbf{P}(X>k-1)\), \(\mathbf{P}(X>k)\) et \(\mathbf{P}(X=k)\).

   2. En déduire l’égalité \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathbf{P}(X=k)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\mathbf{P}(X>k)-n\mathbf{P}(X>n)\).

   3. On suppose que \(X\) admet une espérance. Montrer que la série de terme général \(\mathbf{P}(X>k)\) converge et que \(n\mathbf{P}(X>n)\) tend vers 0.

   4. Réciproquement, on suppose que la série de terme général \(\mathbf{P}(X>k)\) converge. Montrer que \(X\) admet une espérance.

2. Application. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires suivant des lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\) respectivement. Soit \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\).

   1. Calculer \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\mathbf{P}(X>k)\).

   2. Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.

[examen/ex0018] mines MP 2023 Soient \(X_1\), \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramètre \(p\in\left]0,1\right[\). On pose \(Y=|X_1-X_2|\).

1. Calculer \(\mathbf{P}(Y=0)\).

2. Déterminer la loi de \(Y\).

3. Montrer que \(Y\) est d’espérance finie et calculer \(\mathbf{E}(Y)\).

4. Montrer que \(Y\) possède un moment d’ordre 2 et calculer \(\mathbf{V}(Y)\).

[planches/ex6848] mines MP 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes, de même loi, à valeurs dans \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\).

[planches/ex6029] polytechnique PC 2020 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbf{R}_+^*\), indépendantes et de même loi. Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\). À quelle condition a-t-on égalité ?