[concours/ex6961] ens paris 2004
[concours/ex6961]
Soit \(G\) un sous-groupe de \((\mathbf{Z}^n,{+})\) avec \(n\geqslant 1\). Montrer qu’il existe \(m\in\{0,\ldots,n\}\) tel que \(G\) soit isomorphe à \((\mathbf{Z}^m,{+})\).
A quelle condition \((\mathbf{Z}^n,{+})\) et \((\mathbf{Z}^p,{+})\) sont-ils isomorphes ?
[concours/ex6208] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006
[concours/ex6208]
Les groupes \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Z}^2,{+})\) sont-ils isomorphes ?
Pour quels \((m,n)\in\mathbf{N}^*\) les groupes \((\mathbf{Z}^n,{+})\) et \((\mathbf{Z}^m,{+})\) sont-ils isomorphes ?
[concours/ex6962] ens paris, ens lyon, ens cachan 2004 Parmi les groupes additifs \(\mathbf{Z}\), \(\mathbf{Z}^2\), \(\mathbf{Q}\), \(\mathbf{R}\), en est-il d’isomorphes ?
[concours/ex6962]
[concours/ex7234] ens paris MP 2009 Parmi les groupes suivants, lesquels sont isomorphes : \((\mathbf{Z},{+})\), \((\mathbf{Z}^2,{+})\), \((\mathbf{Q},{+})\), \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\) ?
[concours/ex7234]
[concours/ex7255] polytechnique, espci PC 2009
[concours/ex7255]
Montrer que \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Z}^3,{+})\) ne sont pas isomorphes.
Soit \(U=\{z\in\mathbf{C},\ |z|=1\}\). Montrer que les groupes \((U,{\times})\) et \((\mathbf{R},{+})\) ne sont pas isomorphes.
Montrer que les groupes \((\mathbf{Q},{+})\) et \((\mathbf{R},{+})\) ne sont pas isomorphes.
Vous pouvez produire plusieurs PDF en répartissant les exercices choisis